Đáp án:
$\overrightarrow{GA}=\overrightarrow{GC'}.(1-k)+k.\overrightarrow{GB}$
Giải thích các bước giải:
1/ Ta có: $\overrightarrow{GA}=\overrightarrow{GC'}+\overrightarrow{C'A}$
$=\overrightarrow{GC'}+k.\overrightarrow{C'B}$
$=\overrightarrow{GC'}+k.(\overrightarrow{C'G}+\overrightarrow{GB})$
$=\overrightarrow{GC'}.(1-k)+k.\overrightarrow{GB}$
Vậy $\overrightarrow{GA}=\overrightarrow{GC'}.(1-k)+k.\overrightarrow{GB}$ $(1)$
2/ Tương tự câu $1$ ta có:
$\overrightarrow{GB}=\overrightarrow{GA'}.(1-k)+k.\overrightarrow{GC}$ $(2)$
$\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{GB'}.(1-k)+k.\overrightarrow{GA}$ $(3)$
Cộng từng vế $(1), (2), (3)$ ta được:
$\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=(1-k)(\overrightarrow{GC'}+\overrightarrow{GA'}+\overrightarrow{GB'})+k(\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GA})$
$⇔ \overrightarrow{0}=(1-k)(\overrightarrow{GC'}+\overrightarrow{GA'}+\overrightarrow{GB'})+\overrightarrow{0}$
Vì $k \neq 1$ nên:
$\overrightarrow{GC'}+\overrightarrow{GA'}+\overrightarrow{GB'}=\overrightarrow{0}$
$⇔ G$ là trọng tâm của $ΔA'B'C'$
