Giải thích các bước giải:
a.Ta có $CD$ là đường kính của $(O)\to DN\perp NC$
Mà $CD\perp AB$
$\to \widehat{CNF}=\widehat{CKF}=90^o$
$\to C,N,F,K\in$ đường tròn đường kính $CF$
b.Xét $\Delta DFK,\Delta DNC$ có:
Chung $\hat D$
$\widehat{DKF}=\widehat{DNC}=90^o$
$\to \Delta DKF\sim\Delta DNC(g.g)$
$\to\dfrac{DK}{DN}=\dfrac{DF}{DC}$
$\to DF.DN=DK.DC$
c.Ta có $NI$ là tiếp tuyến của $(O)$
$\to \widehat{FNI}=\widehat{DNI}=\widehat{DCN}=90^o-\widehat{CDN}=90^o-\widehat{KFD}=\widehat{KFD}=\widehat{NFI}$
$\to \Delta INF$ cân tại $I\to IN=IF$
Mà $DN\perp CE\to \Delta NEF$ vuông tại $N$
$\to \widehat{INE}=90^o-\widehat{INF}=90^o-\widehat{NFI}=\widehat{NEI}$
$\to \Delta INE$ cân tại $I\to IN=IE$
$\to IF=IE(=IN)$
d.Ta có $CD\perp AB,CD$ là đường kính của $(O)$
$\to D$ nằm giữa cung $AB$
$\to ND$ là phân giác $\widehat{ANB}$
$\to NF$ là phân giác $\widehat{ANB}$
Mà $ND\perp NC\to ND\perp NE$
$\to NE$ là phân giác ngoài đỉnh $N$ của $\Delta NAB$
$\to \dfrac{FA}{FB}=\dfrac{EA}{EB}$
$\to \dfrac{EB}{FB}=\dfrac{EA}{FA}$
Xét $\Delta ENB,\Delta EAC$ có:
Chung $\hat E$
$\widehat{ENB}=\widehat{EAC}$ vì $ABNC$ nội tiếp
$\to \Delta ENB\sim\Delta EAC(g.g)$
$\to \dfrac{EN}{EA}=\dfrac{EB}{EC}$
$\to EN.EC=EB.EA$
Lại có $\widehat{NEF}=\widehat{CEK},\widehat{ENF}=\widehat{EKC}(=90^o)$
$\to \Delta ENF\sim\Delta EKC(g.g)$
$\to \dfrac{EN}{EK}=\dfrac{EF}{EC}$
$\to EN.EC=EF.EK$
$\to EB.EA=EF.EK$
$\to \dfrac{KE}{AE}=\dfrac{EB}{EF}$
$\to \dfrac{KE}{AE-KE}=\dfrac{EB}{EF-EB}$
$\to \dfrac{KE}{KA}=\dfrac{EB}{BF}$
$\to \dfrac{EB}{FB}=\dfrac{KE}{KA}(=\dfrac{EB}{BF})$
