$a)$ PTHDGD của $(d)$ và $(P)$ là:
$x^2=mx+2$
$\Leftrightarrow x^2-mx-2=0(1)$
Ta có $\Delta =m^2-4(-2)=m^2+8>0$ với mọi $m$
$\Rightarrow (1)$ có 2 nghiệm phân biệt với mọi $m$
Mặt khác theo Viet: $x_1.x_2=\dfrac{-2}{1}=-2$
$\Rightarrow x_1$ và $x_2$ trái dấu
$\Rightarrow (1)$ có 2 nghiệm $x_1,x_2$ trái dấu với mọi $m$
Vậy $(P)$ và $(d)$ luôn cắt nhau tại 2 điểm phân biệt $A,B$ và $A,B$ nằm khác phía so với trục tung
$b)$ Ta có $(d)$ luôn cắt $(P)$ tại 2 điểm $A,B$ nằm trái phía so với trục tung
$\Leftrightarrow $ Gọi tọa độ A,B lần lượt là $A(x_A;y_A);B(x_B;y_B)$ với $x_A<0<x_B$
$\Leftrightarrow \begin{cases} x_A+x_B=m\\ x_Ax_B=2 \end{cases}$
Gọi $A'(x_A;0);B'(x_B;0)$ là chân đường cao từ $A,B$ xuống Ox
$\Leftrightarrow ABB'A'$ là hình thang vuông tại A' và B'
Ta có: $S_{OAB}=S_{ABB'A'}-S_{OAA'}-S_{OBB'}=2m+1$
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}(AA'+BB').A'B'-\dfrac{1}{2}AA'.A'O-\dfrac{1}{2}.BB'.B'O=2m+1$
$\Leftrightarrow (AA'+BB').A'B'-AA'.A'O-BB'.B'O=4m+2$
$\Leftrightarrow (y_A+y_B)(x_B-x_A)-y_A(x_O-x_A)-y_B(x_B-x_O)=4m+2$
$\Leftrightarrow y_Ax_B-x_Ay_B=4m+2$
$\Leftrightarrow (mx_A+2)x_B-(mx_B+2)x_A=4m+2$
$\Leftrightarrow x_B-x_A=2m+1$
Mặt khác $x_B+x_A=m$
$\Leftrightarrow x_A=\dfrac{m+1}{2}$ và $x_B=m-x_A=\dfrac{m-1}{2}$
$\Leftrightarrow \dfrac{m+1}{2}.\dfrac{m-1}{2}=2$
$\Leftrightarrow m^2-1=8$
$\Leftrightarrow m=\pm 3$
Vậy $m=\pm 3$
