Đáp án: $\dfrac{-\sqrt{73}+1}{6}<\:m<0$ hoặc $\dfrac13<m<\dfrac{\sqrt{73}+1}{6}$
Giải thích các bước giải:
Ta có:
$y'=3x^2+6mx+m$
$\to y'=0$
$\to 3x^2+6mx+m=0(1)$
Để hàm số nghịch biến trên một đoạn có độ dài nhỏ hơn $2\sqrt{2}$
$\to (1)$ có $2$ nghiệm $x_1,x_2$ thỏa mãn $|x_1-x_2|<2\sqrt{2}$
$\to \begin{cases}\Delta'=(3m)^2-3\cdot m>0 \\ x_1+x_2=-2m\\ x_1x_2=\dfrac{m}3\end{cases}$
$\to \begin{cases}m<0\quad hoặc\quad m\ge\dfrac13 \\ x_1+x_2=-2m\\ x_1x_2=\dfrac{m}3\end{cases}$
Mà $|x_1-x_2|<2\sqrt{2}$
$\to |x_1-x_2|^2<8$
$\to (x_1-x_2)^2<8$
$\to (x_1+x_2)^2-4x_1x_2<8$
$\to (-2m)^2-4\cdot \dfrac{m}{3}<8$
$\to \dfrac{-\sqrt{73}+1}{6}<\:m<\dfrac{\sqrt{73}+1}{6}$
$\to \dfrac{-\sqrt{73}+1}{6}<\:m<0$ hoặc $\dfrac13<m<\dfrac{\sqrt{73}+1}{6}$
