$a^{2}$ + $b^{2}$ $\geq$ $\frac{1}{2}$ $(a+b)^{2}$
⇔ $2a^{2}$ + $2b^{2}$ $\geq$ $(a+b)^{2}$
⇔ $2a^{2}$ + $2b^{2}$ $\geq$ $(a+b)^{2}$
⇔ $2a^{2}$ + $2b^{2}$ $\geq$ $a^{2}$ + $b^{2}$ + $2ab^{}$
⇔ $2a^{2}$ + $2b^{2}$ - $a^{2}$ - $b^{2}$ - $2ab^{}$ $\geq$ 0
⇔ $a^{2}$ + $b^{2}$ - $2ab^{}$ $\geq$ 0
⇔ $a^{2}$ - $2ab^{}$ + $b^{2}$ $\geq$ 0
⇔ $(a - b)^{2}$ $\geq$ 0 (luôn đúng)
Dấu ''='' xảy ra khi $(a - b)^{2}$ = 0 ⇔ a - b = 0 ⇔ a = 0+b = b.
Vậy $a^{2}$ + $b^{2}$ $\geq$ $\frac{1}{2}$ $(a+b)^{2}$ , dấu bằng xảy ra khi a=b.
