`a)` $BD;CE$ là đường cao của $∆ABC$
`=>\hat{BDC}=\hat{BEC}=90°`
`=>` Tứ giác $BEDC$ có hai đỉnh $D;E$ kề nhau cùng nhìn cạnh $BC$ dưới góc vuông
`=>BEDC` nội tiếp đường tròn đường kính $BC$
`=>`Đường tròn ngoại tiếp $BEDC$ có tâm $I$ là trung điểm của $BC$
$\\$
`b)` $AK$ là đường kính của $(O)$
`=>\hat{ACK}=90°` (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
`=>CK`$\perp AC$
Mà $BD\perp AC$
`=>CK`//$BD$
`=>CK`//$BH$ $\quad (1)$
`\qquad \hat{ABK}=90°` (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
`=>BK`$\perp AB$
Mà $CE\perp AB$
`=>CE`//$BK$
`=>CH`//$BK$ $\quad (2)$
Từ `(1);(2)=>BHCK` là hình bình hành
Vì $I$ là trung điểm $BC$ (gt)
`=>I` là trung điểm $HK$ (đpcm)
$\\$
`c)` Gọi $F$ là giao điểm $AH$ và $BC$ $(H\in BC)$
`H` là trực tâm $∆ABC$
`=>AF`$\perp BC$
Xét $∆ABF$ và $∆AKC$ có:
`\hat{AFB}=\hat{ACK}=90°`
`\hat{ABF}=\hat{AKC}=1/ 2 sđ\stackrel\frown{AC}`
`=>∆ABF∽∆AKC` (g-g)
`=>{AB}/{AK}={FB}/{CK}`
`=>AB.CK=AK.FB` $(3)$
Xét $∆ACF$ và $∆AKB$ có:
`\hat{AFC}=\hat{ABK}=90°`
`\hat{ACF}=\hat{AKB}=1/ 2 sđ\stackrel\frown{AB}`
`=>∆ACF∽∆AKB` (g-g)
`=>{AC}/{AK}={FC}/{BK}`
`=>AC.BK=AK.FC` $(4)$
Từ `(3);(4)` ta có:
`\quad AB.CK+AC.BK=AK.FB+AK.FC`
`=AK(FB+FC)=AK.BC`
`=AK. 3/ 4 AK=3/ 4 AK^2` (vì `BC=3/ 4 AK`)
$AK$ là đường kính của $(O;R)$
`=>AK=2R`
`=>AB.CK+AC.BK=3/ 4 .(2R)^2=3R^2`
Vậy $AB.CK+AC.BK=3R^2$
