$\\$
`a,`
Xét `ΔABC` vuông tại `A` có :
`AB^2 + AC^2 =BC^2` (Pitago)
`-> AC^2 = BC^2 - AB^2`
`-> AC^2 = 15^2 - 9^2`
`-> AC^2 = 12^2`
`-> AC=12cm`
Xét `ΔABC` có :
`AB=9cm, AC=12cm, BC=15cm`
`-> AB < AC < BC` (Vì `9cm < 12cm < 15cm`)
Áp dụng quan hệ giữa góc và cạnh đối diện có :
`hat{C}<hat{B}<hat{A}`
$\\$
`b,`
Xét `ΔABC` và `ΔADC` có :
`AC` chung
`AB=AD` (Do `A` là trung điểm của `BD`)
`hat{BAC}=hat{DAC}=90^o` (gt)
`-> ΔABC = ΔADC` (cạnh - góc - cạnh)
`-> BC=DC` (2 cạnh tương ứng)
`-> ΔBCD` cân tại `C`
$\\$
`c,`
Có : `A` là trung điểm của `BD` (gt)
`-> CA` là đường trung tuyến của `ΔBCD`
Có : `K` là trung điểm của `BC` (gt)
`-> DK` là đường trung tuyến của `ΔBCD`
Xét `ΔBCD` có :
`DK` là đường trung tuyến (cmt)
`CA` là đường trung tuyến (cmt)
`DK` cắt `CA` tại `M`
`-> M` là trọng tâm của `ΔBCD`
`-> MC = 2/3 AC`
`-> MC = 2/3 . 12`
`-> MC=8cm`
$\\$
`d,`
Gọi `HQ` là đường trung trực của `AC (H ∈AC)`
`-> HQ⊥AC` và `H` là trung điểm của `AC`
Xét `ΔAHQ` và `ΔCHQ` có :
`hat{AHQ}=hat{CHQ}=90^o` (Do `HQ⊥AC`)
`AH=CH` (Do `H` là trung điểm của `AC`)
`HQ` chung
`-> ΔAHQ = ΔCHQ` (cạnh - góc - cạnh)
`-> CQ = AQ` (2 cạnh tương ứng) (1)
và `hat{QAC}=hat{QCA}` (2 góc tương ứng)
Do `ΔABC =ΔADC` (cmt)
`-> hat{ACB}=hat{ACD}` (2 góc tương ứng)
hay `hat{ACB}=hat{QCA}`
mà `hat{QAC}=hat{QCA}` (cmt)
`-> hat{ACB}=hat{QAC} (=hat{QCA})`
Ta thấy 2 góc này ở vị trí so le trong
$→ BC//AQ$
`-> hat{QAD}=hat{ABC}` (2 góc đồng vị)
mà `hat{ABC}=hat{QDA}` (Do `ΔBCD` cân tại `C`)
`-> hat{QAD}=hat{QDA} (=hat{ABC})`
`-> ΔAQD` cân tại `Q`
`-> DQ = AQ` (2)
Từ (1), (2)
`-> DQ = CQ (=AQ)`
`-> Q` là trung điểm của `DC`
`-> BQ` là đường trung tuyến của `ΔBCD`
mà `M` là trọng tâm của `ΔBCD`
`-> BQ` đi qua `M`
`-> B,M,Q` thẳng hàng
