$pt$ hoành độ giao điểm của $(d)$ và $(P)$ là$:$

$-mx-m+1=x^2$

$\Leftrightarrow x^2+mx+m-1=0(1)$

$\Delta=m^2-4.1(m-1)$

             $=m^2-4m+4$

             $=(m-2)^2\ge0$ với $\forall m$

Để đường thẳng $(d)$ cắt $(P)$ tại 2 điểm phân biệt $A, B$ với $A(x_1; y_1), B(x_2; y_2)\Leftrightarrow pt (1)$ có $2$ phân biệt

$\Leftrightarrow\Delta>0$

$\Leftrightarrow(m-2)^2>0$

$\Leftrightarrow m-2\ne0$

$\Leftrightarrow m\ne2$

Với $m\ne2$ thì $pt (1)$ có $2$ phân biệt

Theo hệ thức $Vi-et$ ta có$: \begin{cases} x_1+x_2=-m\\x_1x_2=m-1 \end{cases}$

Ta có$: y_1=x_1^2, y_2=x_2^2$

Theo đề bài$:$

$y_1+y_2$

$=x_1^2+x_2^2$

$=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$

$=(-m)^2-2(m-1)$

$=m^2-2m+2$

$=m^2-2.m.1+1^2+1$

$=(m-1)^2+1\ge1$

Dấu $"="$ xảy ra

$\Leftrightarrow m-1=0$

$\Leftrightarrow m=1(t/m)$

Vậy $Min=1$ khi $m=1$

Đáp án:

 Min=1

Giải thích các bước giải:

 Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là

\(\begin{array}{l}
{x^2} =  - mx - m + 1\\
 \to {x^2} + mx + m - 1 = 0\left( 1 \right)
\end{array}\)

Để (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt

⇔ Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt

\(\begin{array}{l}
 \to {m^2} - 4\left( {m - 1} \right) > 0\\
 \to {m^2} - 4m + 4 > 0\\
 \to {\left( {m - 2} \right)^2} > 0\\
 \to m \ne 2\\
Vi - et:\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} =  - m\\
{x_1}{x_2} = m - 1
\end{array} \right.\\
Do:{y_1} + {y_2} = {x_1}^2 + {x_2}^2\\
 = {x_1}^2 + {x_2}^2 + 2{x_1}{x_2} - 2{x_1}{x_2}\\
 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2}\\
 = {m^2} - 2\left( {m - 1} \right)\\
 = {m^2} - 2m + 2\\
 = {m^2} - 2m + 1 + 1\\
 = {\left( {m - 1} \right)^2} + 1\\
Do:{\left( {m - 1} \right)^2} \ge 0\forall m\\
 \to {\left( {m - 1} \right)^2} + 1 \ge 1\\
 \to Min = 1\\
 \Leftrightarrow m = 1
\end{array}\)