Giải thích các bước giải:
Nhận thấy rất đơn giản rằng: $10 < \frac{81}{8}$
Chuyển điều cần chứng minh trở thành:
$$(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}) \le 10$$
$⇔$ $$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{b}{a}+\frac{a}{c}+\frac{c}{b} \le 7 $$
Không mất tính tổng quát, Giả sử: $a \ge b \ge c$
$⇒(a-b)(b-c) \ge 0$
$⇔ab+bc \ge b^2+ac$
$⇔\frac{a}{c}+1 \ge \frac{b}{c}+\frac{a}{b}$ $(1)$
$⇒(b-a)(c-b) \ge 0$
$⇔bc+ab \ge b^2+ac$
$⇔\frac{c}{a}+1 \ge \frac{b}{a}+\frac{c}{b}$ $(2)$
Cộng hai vế $(1)+(2)$:
$⇒$ $$\frac{b}{c}+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b} \le 2+(\frac{a}{b}+\frac{c}{a})$$
$⇔$ $$\frac{b}{c}+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}+\frac{c}{a} \le 2+2(\frac{a}{b}+\frac{c}{a})$$
Vậy ta sẽ đi chứng minh rằng: $2+2(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}) \le 7$
Đặt: $k=\frac{a}{c}$ $k \in [1;2] ⇔ 1 \le k \le 2$
$⇔ 2+2.k+\frac{2}{k} \le 7$
$⇔k+\frac{1}{k} \le \frac{5}{2}$ (Luôn đúng: với $1 \le k \le 2$)
$=>$ $$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{b}{a}+\frac{a}{c}+\frac{c}{b} \le 7 $$
$=>$ $$(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}) \le 10$$
$=>$ $$(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}) < \frac{81}{8}$$
$=>$Điều phải chứng minh.