`a;b;c>0;a+b+c=4`
`=>c=4-a-b; a;b;c<4`
Giả sử `a+b\ge abc` $(1)$
`<=>a+b\ge ab(4-a-b)`
`<=>a+b\ge 4ab-a^2b-ab^2`
`<=>a+b-4ab+a^2b+ab^2\ge 0`
`<=>(ab^2-2ab+a)+(a^2 b-2ab+b)\ge 0`
`<=>a(b^2-2b+1)+b(a^2-2a+1)\ge 0`
`<=>a(b-1)^2+b(a-1)^2\ge 0`
Với mọi `0<a;b<4` ta có:
`\qquad (b-1)^2\ge 0; (a-1)^2\ge 0`
`=>a(b-1)^2+b(a-1)^2\ge 0`
`=>(1)` đúng
Dấu "=" xảy ra khi:
$\begin{cases}a(b-1)^2=0\\b(a-1)^2=0\end{cases}$`=>`$\begin{cases}(b-1)^2=0\\(a-1)^2=0\end{cases}$ (vì `a;b>0)`
`=>`$\begin{cases}b=1\\a=1\end{cases}$ (thỏa mãn)
`=>c=4-a-b=4-1-1=2` (thoả mãn)
Vậy bất đẳng thức `a+b\ge abc` được chứng minh
