Giải thích các bước giải:

Ta có: $$P=\frac{\sqrt[]{1+x^2+y^2}}{xy}+\frac{\sqrt[]{1+y^2+z^2}}{yz}+\frac{\sqrt[]{1+z^2+x^2}}{xz}$$

$⇔$ $$P=\frac{z\sqrt[]{1+x^2+y^2}}{xyz}+\frac{x\sqrt[]{1+y^2+z^2}}{xyz}+\frac{y\sqrt[]{1+z^2+x^2}}{xyz}$$

$⇔$ $$P=z\sqrt[]{1+x^2+y^2}+x\sqrt[]{1+y^2+z^2}+y\sqrt[]{1+z^2+x^2}$$

Áp dụng bất đẳng thức $AM-GM$:

$⇒$ $$P \ge z\sqrt[]{1+2xy}+x\sqrt[]{1+2yz}+y\sqrt[]{1+2xz}$$

$⇔$ $$P \ge \sqrt[]{z^2+2z}+\sqrt[]{x^2+2x}+\sqrt[]{y^2+2y}$$

Áp dụng bất đẳng thức $Mincopxki$:

$⇒$ $$P \ge \sqrt[]{(x+y+z)^2+(\sqrt[]{2x}+\sqrt[]{2y}+\sqrt[]{2z})^2 }$$

$⇔$ $$P \ge \sqrt[]{(x+y+z)^2+2(x+y+z)+4(\sqrt[]{xy}+\sqrt[]{yz}+\sqrt[]{xz})}$$

Ta có: $\left[\begin{matrix} (x+y+z)^2 \ge 9\sqrt[3]{(xyz)^2} =9\\2(x+y+z) \ge 6\sqrt[3]{xyz}=6 \\4.(xy+yz+xz) \ge 4.3.\sqrt[3]{(xyz)^2}=12 \end{matrix}\right.$

$⇒$ $$P \ge \sqrt[]{9+6+12} = \sqrt[]{27} = 3\sqrt[]{3}$$

Dấu bằng xảy ra khi: $x=y=z=1$ 

*Tại mình bận học quá nên nửa đêm mới làm dc, sr :< 

Cách chỉ dùng $AM-GM$ hơi khó nhìn chút.

Áp dụng bất đẳng thức $AM-GM$ cho $3$ số dương ta được:

$\begin{array}{l} 1 + {x^2} + {y^2} \ge 3\sqrt[3]{{{x^2}{y^2}}}\\  \Rightarrow \dfrac{{\sqrt {1 + {x^2} + {y^2}} }}{{xy}} \ge \dfrac{{\sqrt {3\sqrt[3]{{{x^2}{y^2}}}} }}{{xy}}\\  = \dfrac{{\sqrt {1 + {x^2} + {y^2}} }}{{xy}} \ge \sqrt {\dfrac{{3\sqrt[3]{{{x^2}{y^2}}}}}{{{x^2}{y^2}}}}  = \sqrt {3\sqrt[3]{{\dfrac{1}{{{x^4}{y^4}}}}}} \\  = \sqrt {3.\sqrt[3]{{\dfrac{{{{\left( {{x^2}{y^2}{z^2}} \right)}^2}}}{{{x^4}{y^4}}}}}}  = \sqrt {3\sqrt[3]{{{z^4}}}}  = \sqrt {\dfrac{{3z\sqrt[3]{z}}}{{xyz}}}  = \sqrt {\dfrac{{3\sqrt[3]{z}}}{{xy}}} \\  = \dfrac{{\sqrt {3\sqrt[3]{z}} }}{{\sqrt {xy} }} = \sqrt 3 .\dfrac{{\sqrt {\sqrt[3]{z}} }}{{\sqrt {xy} }} \end{array}$

$\begin{array}{l}
TT:\dfrac{{\sqrt {1 + {y^2} + {z^2}} }}{{yz}} \ge \sqrt 3 \dfrac{{\sqrt {\sqrt[3]{x}} }}{{\sqrt {yz} }}\\
,\dfrac{{\sqrt {1 + {z^2} + {x^2}} }}{{xz}} \ge \sqrt 3 .\dfrac{{\sqrt {\sqrt[3]{y}} }}{{\sqrt {xz} }}
\end{array}$

$\begin{array}{l}
 \Rightarrow \sqrt 3 .\dfrac{{\sqrt {\sqrt[3]{z}} }}{{\sqrt {xy} }} + \sqrt 3 \dfrac{{\sqrt {\sqrt[3]{x}} }}{{\sqrt {yz} }} + \sqrt 3 .\dfrac{{\sqrt {\sqrt[3]{y}} }}{{\sqrt {xz} }}\\
 \ge 3\sqrt 3 \sqrt[3]{{\dfrac{{\sqrt {\sqrt[3]{{xyz}}} }}{{\sqrt {{{\left( {xyz} \right)}^2}} }}}} = 3\sqrt 3 \\
 \Rightarrow \min P = 3\sqrt 3 \\
' = ' \Leftrightarrow x = y = z = 1
\end{array}$