Giải thích các bước giải:
$VT=a+b+c+\frac{1}{abc}$
Áp dụng bất đẳng thức $AM-GM$:
$⇒VT \ge 3\sqrt[3]{abc}+\frac{1}{abc}$
Ta có: $$a^2+b^2+c^2 =1 \ge 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2} ⇔ a^2b^2c^2 \le \frac{1}{27} ⇔abc \le \frac{1}{3\sqrt[]{3}} ⇔\sqrt[3]{abc} \le \frac{1}{\sqrt[3]{3\sqrt[]{3}}}$$
Đặt: $t=\sqrt[3]{abc}$ $(0<t \le \frac{1}{\sqrt[3]{3\sqrt[]{3}}})$
$⇒VT \ge 3t+\frac{1}{t^3} =(9t+\frac{1}{t^3})-6t$
Áp dụng bất đẳng thức $AM-GM$:
$⇒VT \ge 2\sqrt[]{\frac{9}{t^3}}-6t = \frac{6}{t}-6t \ge 4\sqrt[]{3}$ $($Vì: $t \le \frac{1}{\sqrt[3]{3\sqrt[]{3}}})$
$=>$Điều phải chứng minh.
