Đáp án đúng: D
Giải chi tiết:Ta có \(x.\,{{2}^{x}}=x\left( x-m+1 \right)+m\left( {{2}^{x}}-1 \right)\Leftrightarrow x{{.2}^{x}}={{x}^{2}}-mx+x+m{{.2}^{x}}-m.\)
\(\Leftrightarrow {{2}^{x}}\left( x-m \right)=\left( x+1 \right)\left( x-m \right)\)\(\Leftrightarrow \left({{2}^{x}}-x-1 \right)\left( x-m \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} {{2}^{x}}-x-1=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right) \\ x-m=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right) \\ \end{align} \right.\)
Giải \(\left( 1 \right),\) đặt \(f\left( x \right)={{2}^{x}}-x-1.\) Xét hàm số \(f\left( x \right)={{2}^{x}}-x-1\) trên \(\mathbb{R},\) có \({f}'\left( x \right)={{2}^{x}}.\ln 2-1\)
Phương trình \({f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow {{2}^{x}}=\frac{1}{\ln 2}\Leftrightarrow x={{\log }_{2}}\frac{1}{\ln 2}=-\,\,{{\log }_{2}}\left( \ln 2 \right).\)
\(\Rightarrow \)\(f\left( x \right)=0\) có nghiều nhất 2 nghiệm mà \(f\left( 0 \right)=f\left( 1 \right)=0\Rightarrow f\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} x=0 \\ x=1 \\ \end{align} \right..\)
Để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow \,\,\left( 2 \right)\) có nghiệm 1 hoặc 0.
Vậy \(m=\left\{ 0;\,\,1 \right\}\) là hai giá trị cần tìm.
Chọn D
