Đáp án:
${S_{OMN}} = \sqrt {10} $
Giải thích các bước giải:
Phương trình hoành độ giao điểm của parabol $(P):y=x^2$ và đường thẳng $(d):y=x+2$ là:
$\begin{array}{l}
{x^2} = x + 2\\
\Leftrightarrow {x^2} - x - 2 = 0\\
\Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = - 1\\
x = 2
\end{array} \right.
\end{array}$
Ta có:
$\left\{ \begin{array}{l}
x = - 1 \Rightarrow y = 1\\
x = 2 \Rightarrow y = 4
\end{array} \right.$
$\to M(-1;1),N(2;4)$
Lại có:
$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
OM = \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^2}} = \sqrt 2 \\
ON = \sqrt {{2^2} + {4^2}} = 2\sqrt 5 \\
MN = \sqrt {{{\left( {2 - \left( { - 1} \right)} \right)}^2} + {{\left( {4 - 1} \right)}^2}} = 3\sqrt 2
\end{array} \right.\\
\Rightarrow O{M^2} + M{N^2} = O{N^2}\\
\Rightarrow \Delta OMN;\widehat M = {90^0}\\
\Rightarrow {S_{OMN}} = \dfrac{1}{2}OM.MN = \dfrac{1}{2}.\sqrt 2 .2\sqrt 5 = \sqrt {10}
\end{array}$
Vậy ${S_{OMN}} = \sqrt {10} $
