Phương trình hoành độ giao điểm:
\(\begin{array}{l} - x + m = \frac{{ - 2x + 1}}{{x + 1}} \Leftrightarrow - {x^2} + mx - x + m = - 2x + 1\\ \Leftrightarrow {x^2} - \left( {m + 1} \right)x + 1 - m = 0\end{array}\)
d cắt (C ) tại hai điểm phân biệt \( \Leftrightarrow \) phương trình trên có hai nghiệm phân biệt khác \( - 1\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta = {\left( {m + 1} \right)^2} - 4\left( {1 - m} \right) > 0\\{\left( { - 1} \right)^2} - \left( {m + 1} \right).\left( { - 1} \right) + 1 - m \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} + 6m - 3 > 0\\3 \ne 0\left( {dung} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow {m^2} + 6m - 3 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > - 3 + 2\sqrt 3 \\m < - 3 - 2\sqrt 3 \end{array} \right.\)
Khi đó \(d\) cắt \(\left( C \right)\) tại hai điểm phân biệt \(A\left( {{x_1}; - {x_1} + m} \right),B\left( {{x_2}; - {x_2} + m} \right)\) và \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = m + 1\\{x_1}{x_2} = 1 - m\end{array} \right.\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}AB \le 2\sqrt 2 \Leftrightarrow A{B^2} \le 8 \Leftrightarrow {\left( {{x_2} - {x_1}} \right)^2} + {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} \le 8\\ \Leftrightarrow {\left( {{x_2} - {x_1}} \right)^2} \le 4 \Leftrightarrow x_1^2 - 2{x_1}{x_2} + x_2^2 - 4 \le 0\\ \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} - 4 \le 0\\ \Leftrightarrow {\left( {m + 1} \right)^2} - 4\left( {1 - m} \right) - 4 \le 0\\ \Leftrightarrow {m^2} + 6m - 7 \le 0\\ \Leftrightarrow - 7 \le m \le 1\end{array}\)
Kết hợp điều kiện ta được \(\left[ \begin{array}{l} - 7 \le m < - 3 - 2\sqrt 3 \\ - 3 + 2\sqrt 3 < m \le 1\end{array} \right.\)
Mà \(m \in Z \Rightarrow m \in \left\{ { - 7;1} \right\} \Rightarrow S = - 6\)
