Đáp án đúng: D
Giải chi tiết:Ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,{x^6} + 3{x^4} - {m^3}{x^3} + 4{x^2} - mx + 2 \ge 0\\ \Leftrightarrow {x^6} + 3{x^4} + 4{x^2} + 2 \ge {\left( {mx} \right)^3} + mx\\ \Leftrightarrow \left( {{x^6} + 3{x^4} + 3{x^2} + 1} \right) + {x^2} + 1 \ge {\left( {mx} \right)^3} + mx\\ \Leftrightarrow {\left( {{x^2} + 1} \right)^3} + \left( {{x^2} + 1} \right) \ge {\left( {mx} \right)^3} + mx\,\,\,\left( * \right)\end{array}\)
Xét hàm số \(f\left( t \right) = {t^3} + t\) ta có: \(f'\left( t \right) = 3{t^2} + 1 > 0\,\,\forall t \in \mathbb{R}\,\,\, \Rightarrow \) Hàm số \(f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\).
Khi đó : (*) \( \Leftrightarrow {x^2} + 1 \ge mx \Leftrightarrow m \le x + \dfrac{1}{x}\,\,\,\forall x \in \left[ {1;3} \right].\)
Xét hàm số \(g\left( x \right) = x + \dfrac{1}{x},\,\,x \in \left[ {1;3} \right]\) có: \(g'\left( x \right) = 1 - \dfrac{1}{{{x^2}}} = \dfrac{{{x^2} - 1}}{{{x^2}}} \ge 0,\,\,\forall x \in \left[ {1;3} \right].\)
\( \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ {1;3} \right]} g\left( x \right) = g\left( 1 \right) = 2.\)
Để \(m \le x + \dfrac{1}{x}\,\,\,\forall x \in \left[ {1;3} \right]\) thì \(m \le \mathop {\min }\limits_{\left[ {1;3} \right]} g\left( x \right) \Leftrightarrow m \le 2\).
Mà \(m \in {\mathbb{Z}^ + } \Rightarrow S = \left\{ {1;2} \right\}.\)
Vậy tổng các phần tử của \(S\) là \(1 + 2 = 3\).
Chọn: D
