Đáp án đúng: D
Phương pháp giải:
- Đặt ẩn phụ \(t = {2^x}\), tìm khoảng giá trị của \(t\).
- Đưa phương trình về dạng phương trình bậc hai ẩn \(t\), cô lập \(m\), phương trình dạng \(f\left( t \right) = m\).
- Phương trình có nghiệm khi \(m\) thuộc tập giá trị của hàm số trên khoảng giá trị của \(t\).
Giải chi tiết:Ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,{4^x} + 7 = {2^{x + 3}} + {m^2} + 6m\\ \Leftrightarrow {4^x} - {8.2^x} = {m^2} + 6m - 7\,\,\,\,\,(1)\end{array}\).
Đặt \({2^x} = t\), với \(x \in \left( {1;3} \right)\) thì \(t \in \left( {2;8} \right)\).
Phương trình đã cho trở thành \({t^2} - 8t = {m^2} + 6m - 7\,\,\,\,(2)\) với \(t \in \left( {2;8} \right)\).
Xét hàm số \(f\left( t \right) = {t^2} - 8t,\,\,t \in \left( {2;8} \right)\).
Ta có \(f'(t) = 2t - 8;\)\(f'(t) = 0 \Leftrightarrow t = 4 \in \left( {2;8} \right)\).
Lại có \(f(2) = - 12;\,\,f(4) = - 16;\,\,f(8) = 0.\)
Mà hàm \(f(t)\) xác định và liên tục trên \(t \in \left( {2;8} \right)\) nên \( - 16 \le f(t) < 0\).
Do đó phương trình (2) có nghiệm trên \(t \in \left( {2;8} \right)\)\( \Leftrightarrow - 16 \le {m^2} + 6m - 7 < 0 \Leftrightarrow - 7 < m < 1\).
Mà \(m \in \mathbb{Z}\). Vậy \(m \in \left\{ { - 6; - 5; - 4; - 3; - 2; - 1;0} \right\}\). Do đó \(S = - 21\).
Chọn D.
