Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thang vuông tại \(B\) và \(C\), \(AB = 2BC = 4CD = 2a\), giả sử  \(M\) và \(N\) lần lượt là trung điểm của  \(AB\) và \(BC\). Hai mặt phẳng \(\left( {SMN} \right)\)và \(\left( {SBD} \right)\) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy, và cạnh bên \(SB\) hợp với \(\left( {ABCD} \right)\) một góc \({60^0}\). Khoảng cách giữa \(SN\) và \(BD\) là:
A.\(\dfrac{{\sqrt {45} a}}{{15}}\)
B.\(\dfrac{{\sqrt {195} a}}{{65}}\)
C.\(\dfrac{{\sqrt {165} a}}{{55}}\)
D.\(\dfrac{{\sqrt {105} a}}{{35}}\)

Cho \(y = \left( {m - 3} \right){x^3} + 2\left( {{m^2} - m - 1} \right){x^2} + \left( {m + 4} \right)x - 1\). Gọi \(S\) là tập tất cả các giá trị nguyên dương của \(m\) để đồ thị hàm số đã cho có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục \(Oy\). Hỏi \(S\) có bao nhiêu phần tử ?
A.\(4\)
B.\(3\)
C.\(2\)
D.\(1\)

Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(AB = a\sqrt 3 ,\,\,BC = 2a.\) Tính thể tích \(V\)của khối tròn xoay được tạo thành khi quay tam giác \(ABC\) quanh cạnh \(AB.\)
A.\(V = \pi {a^3}\sqrt 3 \)
B.\(V = \dfrac{{\pi {a^3}\sqrt 3 }}{3}\)
C.\(V = 2\pi {a^3}\)
D.\(V = \dfrac{{2\pi {a^3}}}{3}\)

Cho hình nón có diện tích đáy bằng \(16\pi \,\,c{m^2}\) và thể tích khối nón bằng \(16\pi \,\,c{m^3}.\) Tính diện tích xung quanh \({S_{xq}}\) của hình nón.
A.\({S_{xq}} = 20\pi \,\,c{m^2}\)
B.\({S_{xq}} = 40\pi \,\,c{m^2}\)
C.\({S_{xq}} = 12\pi \,\,c{m^2}\)
D.\({S_{xq}} = 24\pi \,\,c{m^2}\)

Trong không gian \(Oxyz,\) phương trình mặt phẳng trung trực  của đoạn thẳng  với  \(A\left( {0;4; - 1} \right)\)và\(B\left( {2; - 2; - 3} \right)\) là
A.\(\left( \alpha  \right):\,\,x - 3y - z - 4 = 0\)
B.\(\left( \alpha  \right):\,\,x - 3y + z = 0\)
C.\(\left( \alpha  \right):\,\,x - 3y + z - 4 = 0\)
D.\(\left( \alpha  \right):\,\,x - 3y - z = 0\)

Trong không gian \(Oxyz,\) cho hai điểm \(A\left( {2;1;1} \right),\)\(B\left( {0;3; - 1} \right).\) Mặt cầu \(\left( S \right)\) đường kính \(AB\) có phương trình là
A.\({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {z^2} = \sqrt 3 \)
B.\({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {z^2} = 3\)
C.\({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {z^2} = 3\)
D.\({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {z^2} = 12\)

Cho mặt cầu \(\left( S \right)\)  có bán kính \(R = a\sqrt 2 \). Gọi \(\left( T \right)\) là hình trụ có hai đáy nằm trên \(\left( S \right)\) và thiết diện qua trục của \(\left( T \right)\) có diện tích lớn nhất. Tính thể tích \(V\) của khối trụ.
A.\(V = \dfrac{{2\pi {a^3}}}{3}\)
B.\(V = \dfrac{{3\pi {a^3}\sqrt 2 }}{2}\)
C.\(V = 2\pi {a^3}\)
D.\(V = \dfrac{{9\pi {a^3}\sqrt 2 }}{2}\)

Trong không gian \(Oxyz\), cho ba điểm \(A\left( {1;1;3} \right)\), \(B\left( {2;3;1} \right)\), \(C\left( { - 2; - 1;4} \right)\). Một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) qua \(A\) và song song với \(\overrightarrow {BC} \) là vectơ nào sau đây?
A.\(\overrightarrow u  = \left( {4;4; - 3} \right)\)
B.\(\overrightarrow u  = \left( {4;4;3} \right)\)
C.\(\overrightarrow u  = \left( {1;1; - 1} \right)\)
D.\(\overrightarrow u  = \left( {2;2; - 1} \right)\)

Trong không gian \(Oxyz\),  mặt phẳng \(\left( P \right):ax + by + cz - 9 = 0\) (với \({a^2} + {b^2} + {c^2} \ne 0\)) đi qua hai điểm \(A\left( {3;2;1} \right)\), \(B\left( { - 3;5;2} \right)\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( Q \right):3x + y + z + 4 = 0\). Tính tổng \(S = a + b + c\).
A.
B.\(S = 5\)
C.\(S =  - 4\)
D.\(S =  - 2\)

Cho phương trình: \(\sin x\left( {2 - \cos 2x} \right) - 2\left( {2{{\cos }^3}x + m + 1} \right)\sqrt {2{{\cos }^3}x + m + 2}\) \(  = 3\sqrt {2{{\cos }^3}x + m + 2} \). Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số \(m\) để phương trình trên có đúng \(1\) nghiệm\(x \in \left[ {0;\dfrac{{2\pi }}{3}} \right)\)?
A.\(0\)
B.\(1\)
C.\(4\)
D.\(3\)