Cho phương trình: \(\sin x\left( {2 - \cos 2x} \right) - 2\left( {2{{\cos }^3}x + m + 1} \right)\sqrt {2{{\cos }^3}x + m + 2}\) \(  = 3\sqrt {2{{\cos }^3}x + m + 2} \). Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số \(m\) để phương trình trên có đúng \(1\) nghiệm\(x \in \left[ {0;\dfrac{{2\pi }}{3}} \right)\)?
A.\(0\)
B.\(1\)
C.\(4\)
D.\(3\)

Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm\(M\left( {1;1;1} \right)\). Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua \(M\) và cắt chiều dương của các trục \(Ox\), \(Oy\), \(Oz\) lần lượt tại các điểm \(A\left( {a;0;0} \right)\), \(B\left( {0;b;0} \right)\), \(C\left( {0;0;c} \right)\) thỏa mãn \(OA = 2OB\) và thể tích của khối tứ diện \(OABC\)đạt giá trị nhỏ nhất. Tính \(S = 2a + b + 3c\).
A.\(\dfrac{{81}}{{16}}\)
B.\(3\)
C.\(\dfrac{{45}}{2}\)
D.\(\dfrac{{81}}{4}\)

Xếp ngẫu nhiên \(10\) học sinh gồm \(2\) học sinh lớp \({\rm{12A}}\), \(3\) học sinh lớp \({\rm{12B}}\) và \(5\) học sinh lớp \({\rm{12C}}\) thành một hàng ngang. Xác suất để trong \(10\) học sinh trên không có \(2\) học sinh cùng lớp đứng cạnh nhau bằng:
A.\(\dfrac{{11}}{{630}}\)
B.\(\dfrac{1}{{126}}\)
C.\(\dfrac{1}{{105}}\)
D.\(\dfrac{1}{{42}}\)

Cho \(x,y\) là các số dương thỏa mãn \({\log _2}\dfrac{{{x^2} + 5{y^2}}}{{{x^2} + 10xy + {y^2}}} + 1 + {x^2} - 10xy + 9{y^2} \le 0\). Gọi \(M,m\) lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của \(P = \dfrac{{{x^2} + xy + 9{y^2}}}{{xy + {y^2}}}\). Tính \(T = 10M - m\).
A.\(T = 60.\)
B.\(T = 94.\)
C.\(T = 104.\)
D.\(T = 50.\)

Một sợi dây kim loại dài \(a\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\) . Người ta cắt sợi dây đó thành hai đoạn, trong đó một đoạn có độ dài \(x\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\) được uốn thành đường tròn và đoạn còn lại được uốn thành hình vuông \(\left( {a > x > 0} \right).\) Tìm \(x\) để hình vuông và hình tròn tương ứng có tổng diện tích nhỏ nhất.
A.\(x = \dfrac{a}{{\pi  + 4}}\left( {{\rm{cm}}} \right)\)
B.\(x = \dfrac{{2a}}{{\pi  + 4}}\left( {{\rm{cm}}} \right)\)
C.\(x = \dfrac{{\pi a}}{{\pi  + 4}}\left( {{\rm{cm}}} \right)\)
D.\(x = \dfrac{{4a}}{{\pi  + 4}}\left( {{\rm{cm}}} \right)\)

Cho hai số thực dương \(a,\,\,b\) thỏa mãn điều kiện \(a + b \ge 3.\)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(M = a + b + \frac{1}{{2a}} + \frac{2}{b}\).
A.\(3\)
B.\(4\)
C.\(\frac{7}{2}\)
D.\(\frac{9}{2}\)

Cho hàm số \(f\left( x \right)\)  liên tục trên \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {f\left( {\tan x} \right){\rm{d}}x}  = 4\)  và \(\int\limits_0^1 {\dfrac{{{x^2}f\left( x \right)}}{{{x^2} + 1}}{\rm{d}}x = 2} \). Tính tích phân \(I = \int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} \).
A.\(6\)
B.\(2\)
C.\(3\)
D.\(1\)

Mạch RLC nối tiếp có \(R = 25\,\,\Omega ;\,\,C = \dfrac{{{{10}^{ - 4}}}}{\pi }\,\,F\) và L là cuộn dây thuần cảm biến đổi được. Hiệu điện thế giữa hai đầu mạch là \(u = 200\sqrt 2 \cos \left( {100\pi t - \dfrac{\pi }{2}} \right)\,\,\left( V \right)\). Thay đổi L sao cho công suất mạch đạt cực đại. Giá trị của L khi đó là
A.\(L = \dfrac{1}{{2\pi }}\,\,H\)         
B.\(L = \dfrac{1}{\pi }\,\,H\)
C.\(L = \dfrac{2}{\pi }\,\,H\)   
D.\(L = \dfrac{4}{\pi }\,\,H\)

Đặt điện áp \(u = {U_0}\cos \left( {2\pi ft} \right)\,\,\left( V \right)\) vào hai đầu đoạn mạch RLC nối tiếp. Lần lượt thay đổi tần số \({f_1} = f;{f_2} = f + 20Hz\) thì hiệu điện thế hai đầu cuộn cảm có giá trị bằng hiệu điện thế cực đại hai đầu đoạn mạch. Khi \({f_3} = f - 20Hz\) thì hiệu điện thế hiệu dụng hai đầu điện trở cực đại. Giá trị của f gần giá trị nào nhất trong các giá trị sau đây?
A.200 Hz.     
B.100 Hz.      
C.180 Hz.           
D.220 Hz.

Mạch điện RCL nối tiếp có C thay đổi được. Điện áp hai đầu đoạn mạch \(u = 200\sqrt 2 \cos 100\pi t\,\,\left( V \right)\). Khi \(C = {C_1} = \dfrac{{50}}{\pi }\,\,\mu F\) thì mạch tiêu thụ công suất cực đại \({P_{\max }} = 160\,\,{\rm{W}}\). Khi \(C = {C_2} = \dfrac{1}{{5\pi }}\,\,mF\) thì điện áp hai đầu đoạn mạch RC và cuộn dây vuông pha với nhau, điện áp hiệu dụng hai đầu cuộn dây khi đó gần giá trị nào nhất sau đây
A.90 V         
B.120 V       
C.75 V    
D.140 V