Đáp án đúng: C
Giải chi tiết:Ta có:
\(\begin{array}{l}\sin x\left( {2 - \cos 2x} \right) - 2\left( {2{{\cos }^3}x + m + 1} \right)\sqrt {2{{\cos }^3}x + m + 2} = 3\sqrt {2{{\cos }^3}x + m + 2} \\ \Leftrightarrow \sin x\left( {1 + 2{{\sin }^2}x} \right) = 2\left( {2{{\cos }^3}x + m + 2} \right)\sqrt {2{{\cos }^3}x + m + 2} + \sqrt {2{{\cos }^3}x + m + 2} \\ \Leftrightarrow 2{\sin ^3}x + \sin x = 2{\left( {\sqrt {2{{\cos }^3}x + m + 2} } \right)^3} + \sqrt {2{{\cos }^3}x + m + 2} \,\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)
Xét hàm số \(f\left( u \right) = 2{u^3} + u;\) với \(u \ge 0\) ta có \(f'\left( u \right) = 6{u^2} + 1 > 0,\forall u \ge 0\), nên hàm số \(f\left( u \right)\) đồng biến trên \(\left[ {0; + \infty } \right)\).
Bởi vậy: \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow f\left( {\sin x} \right) = f\left( {\sqrt {2{{\cos }^3}x + m + 2} } \right)\) \( \Leftrightarrow \sin x = \sqrt {2{{\cos }^3}x + m + 2} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\)
Với \(x \in \left[ {0;\dfrac{{2\pi }}{3}} \right)\) thì \(\left( 2 \right) \Leftrightarrow {\sin ^2}x = 2{\cos ^3}x + m + 2\) \( \Leftrightarrow - 2{\cos ^3}x - {\cos ^2}x - 1 = m\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right)\)
Đặt \(t = \cos x\), phương trình (3) trở thành \( - 2{t^3} - {t^2} - 1 = m\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 4 \right)\)
Ta thấy, với mỗi \(t \in \left( { - \dfrac{1}{2};1} \right]\) thì phương trình \(\cos x = t\)cho ta một nghiệm \(x \in \left[ {0;\dfrac{{2\pi }}{3}} \right)\). Do đó, để phương trình đã cho có đúng \(1\) nghiệm \(x \in \left[ {0;\dfrac{{2\pi }}{3}} \right)\) điều kiện cần và đủ là phương trình (4) có đúng một nghiệm \(t \in \left( { - \dfrac{1}{2};1} \right]\).
Xét hàm số \(g\left( t \right) = - 2{t^3} - {t^2} - 1\) với \(t \in \left( { - \dfrac{1}{2};1} \right]\).
Ta có \(g'\left( t \right) = - 6{t^2} - 2t\), \(g'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 0\\t = - \dfrac{1}{3}\end{array} \right.\).
Ta có bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên suy ra, phương trình (4) có đúng một nghiệm \(t \in \left( { - \dfrac{1}{2};1} \right]\) khi và chỉ khi \(\left[ \begin{array}{l} - 4 \le m < - \dfrac{{28}}{{27}}\\m = - 1\end{array} \right.\).
Hay, các giá trị nguyên của \(m\) để phương trình trên có đúng \(1\) nghiệm \(x \in \left[ {0;\dfrac{{2\pi }}{3}} \right)\) là \(\left\{ { - 4; - 3; - 2; - 1} \right\}\). Vậy có 4 giá trị nguyên âm \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Chọn C.
