Cho mặt cầu \(\left( S \right)\)  có bán kính \(R = a\sqrt 2 \). Gọi \(\left( T \right)\) là hình trụ có hai đáy nằm trên \(\left( S \right)\) và thiết diện qua trục của \(\left( T \right)\) có diện tích lớn nhất. Tính thể tích \(V\) của khối trụ.
A.\(V = \dfrac{{2\pi {a^3}}}{3}\)
B.\(V = \dfrac{{3\pi {a^3}\sqrt 2 }}{2}\)
C.\(V = 2\pi {a^3}\)
D.\(V = \dfrac{{9\pi {a^3}\sqrt 2 }}{2}\)

Trong không gian \(Oxyz\), cho ba điểm \(A\left( {1;1;3} \right)\), \(B\left( {2;3;1} \right)\), \(C\left( { - 2; - 1;4} \right)\). Một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) qua \(A\) và song song với \(\overrightarrow {BC} \) là vectơ nào sau đây?
A.\(\overrightarrow u  = \left( {4;4; - 3} \right)\)
B.\(\overrightarrow u  = \left( {4;4;3} \right)\)
C.\(\overrightarrow u  = \left( {1;1; - 1} \right)\)
D.\(\overrightarrow u  = \left( {2;2; - 1} \right)\)

Trong không gian \(Oxyz\),  mặt phẳng \(\left( P \right):ax + by + cz - 9 = 0\) (với \({a^2} + {b^2} + {c^2} \ne 0\)) đi qua hai điểm \(A\left( {3;2;1} \right)\), \(B\left( { - 3;5;2} \right)\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( Q \right):3x + y + z + 4 = 0\). Tính tổng \(S = a + b + c\).
A.
B.\(S = 5\)
C.\(S =  - 4\)
D.\(S =  - 2\)

Cho phương trình: \(\sin x\left( {2 - \cos 2x} \right) - 2\left( {2{{\cos }^3}x + m + 1} \right)\sqrt {2{{\cos }^3}x + m + 2}\) \(  = 3\sqrt {2{{\cos }^3}x + m + 2} \). Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số \(m\) để phương trình trên có đúng \(1\) nghiệm\(x \in \left[ {0;\dfrac{{2\pi }}{3}} \right)\)?
A.\(0\)
B.\(1\)
C.\(4\)
D.\(3\)

Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm\(M\left( {1;1;1} \right)\). Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua \(M\) và cắt chiều dương của các trục \(Ox\), \(Oy\), \(Oz\) lần lượt tại các điểm \(A\left( {a;0;0} \right)\), \(B\left( {0;b;0} \right)\), \(C\left( {0;0;c} \right)\) thỏa mãn \(OA = 2OB\) và thể tích của khối tứ diện \(OABC\)đạt giá trị nhỏ nhất. Tính \(S = 2a + b + 3c\).
A.\(\dfrac{{81}}{{16}}\)
B.\(3\)
C.\(\dfrac{{45}}{2}\)
D.\(\dfrac{{81}}{4}\)

Xếp ngẫu nhiên \(10\) học sinh gồm \(2\) học sinh lớp \({\rm{12A}}\), \(3\) học sinh lớp \({\rm{12B}}\) và \(5\) học sinh lớp \({\rm{12C}}\) thành một hàng ngang. Xác suất để trong \(10\) học sinh trên không có \(2\) học sinh cùng lớp đứng cạnh nhau bằng:
A.\(\dfrac{{11}}{{630}}\)
B.\(\dfrac{1}{{126}}\)
C.\(\dfrac{1}{{105}}\)
D.\(\dfrac{1}{{42}}\)

Cho \(x,y\) là các số dương thỏa mãn \({\log _2}\dfrac{{{x^2} + 5{y^2}}}{{{x^2} + 10xy + {y^2}}} + 1 + {x^2} - 10xy + 9{y^2} \le 0\). Gọi \(M,m\) lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của \(P = \dfrac{{{x^2} + xy + 9{y^2}}}{{xy + {y^2}}}\). Tính \(T = 10M - m\).
A.\(T = 60.\)
B.\(T = 94.\)
C.\(T = 104.\)
D.\(T = 50.\)

Một sợi dây kim loại dài \(a\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\) . Người ta cắt sợi dây đó thành hai đoạn, trong đó một đoạn có độ dài \(x\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\) được uốn thành đường tròn và đoạn còn lại được uốn thành hình vuông \(\left( {a > x > 0} \right).\) Tìm \(x\) để hình vuông và hình tròn tương ứng có tổng diện tích nhỏ nhất.
A.\(x = \dfrac{a}{{\pi  + 4}}\left( {{\rm{cm}}} \right)\)
B.\(x = \dfrac{{2a}}{{\pi  + 4}}\left( {{\rm{cm}}} \right)\)
C.\(x = \dfrac{{\pi a}}{{\pi  + 4}}\left( {{\rm{cm}}} \right)\)
D.\(x = \dfrac{{4a}}{{\pi  + 4}}\left( {{\rm{cm}}} \right)\)

Cho hai số thực dương \(a,\,\,b\) thỏa mãn điều kiện \(a + b \ge 3.\)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(M = a + b + \frac{1}{{2a}} + \frac{2}{b}\).
A.\(3\)
B.\(4\)
C.\(\frac{7}{2}\)
D.\(\frac{9}{2}\)

Cho hàm số \(f\left( x \right)\)  liên tục trên \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {f\left( {\tan x} \right){\rm{d}}x}  = 4\)  và \(\int\limits_0^1 {\dfrac{{{x^2}f\left( x \right)}}{{{x^2} + 1}}{\rm{d}}x = 2} \). Tính tích phân \(I = \int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} \).
A.\(6\)
B.\(2\)
C.\(3\)
D.\(1\)