Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = x\ln x\), trục hoành và đường thẳng \(x = e\). Thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay D quanh trục hoành được viết dưới dạng \(\dfrac{\pi }{a}\left( {b.{e^3} - 2} \right)\) với a và b là các số nguyên. Tính giá trị biểu thức \(T = a - {b^2}.\)
A.\(T = 2.\)
B.\(T =  - 12.\)
C.\(T =  - 1.\)
D.\(T =  - 9.\)

Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = {e^{2x}},\) \(y = 0,\) \(x = 0,\) \(x = 2\) được biểu diễn bởi \(\dfrac{{{e^a} - b}}{c}\) với \(a,\,\,b,\,\,c \in \mathbb{Z}\). Tính \(P = a + 3b - c.\)
A.\(P = 5.\)
B.\(P =  - 1\)
C.\(P = 6\)
D.\(P = 3\)

Trong không gian Oxyz,  cho đường thẳng \(d:\dfrac{{x - 1}}{{ - 1}} = \dfrac{{y + 1}}{2} = \dfrac{{z + 1}}{{ - 1}}\). Đường thẳng đi qua điểm
\(M\left( {2;1; - 1} \right)\) và song song với đường thẳng d có phương trình là:
A.\(\dfrac{{x + 2}}{{ - 1}} = \dfrac{{y + 1}}{2} = \dfrac{{z - 1}}{{ - 1}}\)
B.\(\dfrac{x}{1} = \dfrac{{y - 5}}{{ - 2}} = \dfrac{{z + 3}}{1}\)
C.\(\dfrac{{x - 2}}{1} = \dfrac{{y - 1}}{{ - 1}} = \dfrac{{z + 1}}{2}\)
D.\(\dfrac{{x + 1}}{2} = \dfrac{{y - 2}}{1} = \dfrac{{z + 1}}{{ - 1}}\)

Trong không gian Oxyz, viết phương trình đường thẳng \(\Delta \) đi qua hai điểm \(A\left( {1;4;4} \right)\) và \(B\left( { - 1;0;2} \right).\)
A.\(\dfrac{x}{1} = \dfrac{{y - 2}}{2} = \dfrac{{z - 3}}{1}\)
B.\(\dfrac{{x + 1}}{2} = \dfrac{y}{4} = \dfrac{{z + 2}}{{ - 2}}\)
C.\(\dfrac{{x + 1}}{{ - 2}} = \dfrac{y}{{ - 4}} = \dfrac{{z + 2}}{{ - 2}}\)
D.\(\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{{y - 4}}{2} = \dfrac{{z - 4}}{2}\)

Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị các hàm số \(y = \sqrt x \cos \dfrac{x}{2},\,\,y = 0,\,\,x = \dfrac{\pi }{2},\,\,x = \pi \). Tính thể tích \(V\) của khối tròn xoay sinh ra khi cho hình phẳng \(\left( H \right)\) quay xung quanh trục Ox.
A.\(V = \dfrac{\pi }{6}\left( {3{\pi ^2} + 4\pi  - 8} \right)\)
B.\(V = \dfrac{\pi }{{16}}\left( {3{\pi ^2} - 4\pi  - 8} \right)\)
C.\(V = \dfrac{\pi }{8}\left( {3{\pi ^2} + 4\pi  - 8} \right)\)
D.\(V = \dfrac{1}{{16}}\left( {3{\pi ^2} - 4\pi  - 8} \right)\)

Biết \(\int\limits_0^4 {x\ln \left( {{x^2} + 1} \right)dx}  = \dfrac{a}{b}\ln a - c\), trong đó \(a,b\) là các số nguyên tố, c là số nguyên dương. Tính \(T = a + b + c.\)
A.\(T = 27.\)
B.\(T = 35.\)
C.\(T = 23.\)
D.\(T = 11.\)

Trong không gian Oxyz, tính diện tích S của tam giác ABC, biết \(A\left( {2;0;0} \right),\) \(B\left( {0;3;0} \right)\) và \(C\left( {0;0;4} \right)\)
A.\(S = 2\sqrt {61} \)
B.\(S = \dfrac{{\sqrt {61} }}{2}\)
C.\(S = \dfrac{{\sqrt {61} }}{3}\)
D.\(S = \sqrt {61} \)

Số phức liên hợp \(\overline z \) của số phức \(z = \dfrac{{4 + 6i}}{{1 - i}}\) là:
A.\(\overline z  =  - 2 - 10i\)
B.\(\overline z  =  - 1 + 5i\)
C.\(\overline z  =  - 2 + 10i\)
D.\(\overline z  =  - 1 - 5i\)

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng \(\dfrac{{x - 2}}{1} = \dfrac{{y - 4}}{1} = \dfrac{z}{{ - 2}}\) và \(\dfrac{{x - 3}}{2} = \dfrac{{y + 1}}{{ - 1}} = \dfrac{{z + 2}}{{ - 1}}\). Gọi M là trung điểm đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng trên. Tính độ dài đoạn thẳng OM.
A.\(OM = \sqrt {35} \)
B.\(OM = 2\sqrt {35} \)
C.\(OM = \dfrac{{\sqrt {14} }}{2}\)
D.\(OM = \sqrt 5 \)

Trên tập số phức, phương trình \({z^2} - 6z + {2019^{2020}} + 9 = 0\) có một nghiệm là
A.\(z = 3 - {2019^{2020}}i\)
B.\(z = 3 - {2019^{1010}}i\)
C.\(z = -3 + {2019^{1010}}i\)
D.\(z = 3 + {2019^{2020}}i\)