Đáp án+Giải thích các bước giải:
$N=2x^{2}+5y^{2}+4xy+8x-4y-100$
$=x^{2}+x^{2}+4y^{2}+y^{2}+4xy+8x-4y+16+4-120$
$=(x^{2}+4xy+4y^{2})+(x^{2}+8x+16)+(y^{2}-4y+4)-120$
$=(x+2y)^{2}+(x+4)^{2}+(y-2)^{2}-120$
$Ta$ $có$ $:$ $\begin{cases} (x+2y)^{2}\geq0\\(x+4)^{2}\geq0\\(y-2)^{2}\geq0\end{cases}$
$⇒(x+2y)^{2}+(x+4)^{2}+(y-2)^{2}geq0 ∀x,y$
$⇒(x+2y)^{2}+(x+4)^{2}+(y-2)^{2}-120geq-120 ∀x,y$
$\text{Dấu "=" xảy ra khi:}$
$\begin{cases} (x+2y)^{2}=0\\(x+4)^{2}=0\\(y-2)^{2}=0\end{cases}$
$⇔$ $\begin{cases} x+2y=0\\x+4=0\\y-2=0\end{cases}$
$⇔$ $\begin{cases} x=-4\\y=2\end{cases}$
$\text{Vậy giá trị nhỏ nhất của N là -120 khi x = -4 và y = 2}$
