Chọn $O$ là gốc tọa độ
Phương trình khoảng cách giữa hai hạt với điểm $O$ là:
$x_{1}=l_{1}-v_{1}.t$
$x_{2}=l_{2}-v_{2}.t$
$⇒$ Khoảng cách giữa hai hạt là:
$l=\sqrt{(l_{1}-v_{1}.t)²+(l_{2}-v_{2}.t)²}$
Khi $l_{min}$ thì $\sqrt{(l_{1}-v_{1}.t)²+(l_{2}-v_{2}.t)²}_{min}$
$⇒[(l_{1}-v_{1}.t)²+(l_{2}-v_{2}.t)²]_{min}$
Ta có: $l²=(l_{1}-v_{1}.t)²+(l_{2}-v_{2}.t)²$
$⇔l²=l_{1}²-2.l_{1}.v_{1}.t+v_{1}².t²+l_{2}²-2.l_{2}.v_{2}.t+v_{2}².t²$
$⇔l²=(v_{1}²+v_{2}²).t²-2.(l_{1}.v_{1}+l_{2}.v_{2}).t+l_{1}²+l_{2}²$
Kháo sát $l²$ trên bảng biến thiên, ta có:
$l²_{min}=\dfrac{-Δ}{4a}$ khi $t=\dfrac{-b}{2a}$ với $a>0$
Mà $Δ=4.(l_{1}².v_{1}²+2.l_{1}.v_{1}.l_{2}.v_{2}+l_{2}².v_{2}²)-4.(l_{1}².v_{1}²+l_{2}².v_{2}²+l_{1}².v_{2}²+l_{2}².v_{1}²)$
$=4.(2.l_{1}.v_{1}.l_{2}.v_{2}+l_{1}².v_{2}²+l_{2}².v_{1}²)$
$=4.(l_{1}.v_{2}+l_{2}.v_{1})²$
$⇒l²_{min}=\dfrac{(l_{1}.v_{2}+l_{2}.v_{1})²}{v_{1}²+v_{2}²}$
$⇒l_{min}=(l_{1}.v_{2}+l_{2}.v_{1})².\dfrac{1}{\sqrt{v_{1}²+v_{2}²}}$
Khi $t=\dfrac{l_{1}.v_{1}+l_{2}.v_{2}}{v_{1}²+v_{2}²}$
