Đáp án:

$\begin{array}{l}
a.{v_{t{b_1}}} = \dfrac{{2{v_1}{v_2}}}{{{v_1} + {v_2}}}\\
{v_{t{b_2}}} = \dfrac{{{v_1} + {v_2}}}{2}\\
b.{t_2} < {t_1}\\
\Delta t = \dfrac{{s{{\left( {{v_1} - {v_2}} \right)}^2}}}{{2{v_1}{v_2}\left( {{v_1} + {v_2}} \right)}}\\
c.\left[ \begin{array}{l}
\dfrac{{s{{\left( {{v_1} - {v_2}} \right)}^2}}}{{2{v_1}\left( {{v_1} + {v_2}} \right)}}\\
\dfrac{{s\left( {{v_1} - {v_2}} \right)}}{{{v_1} + {v_2}}}
\end{array} \right.
\end{array}$

Giải thích các bước giải:

a. Vận tốc trung bình của mỗi vật là:
$\begin{array}{l}
{v_{t{b_1}}} = \dfrac{s}{{{t_1} + {t_2}}} = \dfrac{s}{{\dfrac{s}{{2{v_1}}} + \dfrac{s}{{2{v_2}}}}} = \dfrac{1}{{\dfrac{1}{{2{v_1}}} + \dfrac{1}{{2{v_2}}}}} = \dfrac{{2{v_1}{v_2}}}{{{v_1} + {v_2}}}\\
{v_{t{b_2}}} = \dfrac{{{s_1} + {s_2}}}{t} = \dfrac{{{v_1}\dfrac{t}{2} + {v_2}\dfrac{t}{2}}}{t} = \dfrac{{{v_1} + {v_2}}}{2}
\end{array}$

b. Thời gian người thứ nhất tới B là: 
${t_1} = \dfrac{s}{{{v_{t{b_1}}}}} = \dfrac{{s\left( {{v_1} + {v_2}} \right)}}{{2{v_1}{v_2}}}$

Thời gian người thứ 2 tới B là:

${t_2} = \dfrac{s}{{{v_{t{b_2}}}}} = \dfrac{{2s}}{{{v_1} + {v_2}}}$

Độ chênh lệch thời gian đến B là:
$\begin{array}{l}
\Delta t = {t_1} - {t_2} = \dfrac{{s\left( {{v_1} + {v_2}} \right)}}{{2{v_1}{v_2}}} - \dfrac{{2s}}{{{v_1} + {v_2}}}\\
 \Leftrightarrow \Delta t = \dfrac{{s\left( {{v_1} + {v_2}} \right) - 4s{v_1}{v_2}}}{{2{v_1}{v_2}\left( {{v_1} + {v_2}} \right)}}\\
 \Leftrightarrow \Delta t = \dfrac{{s{{\left( {{v_1} - {v_2}} \right)}^2}}}{{2{v_1}{v_2}\left( {{v_1} + {v_2}} \right)}}
\end{array}$

Mặt khác:

$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
s{\left( {{v_1} - {v_2}} \right)^2} > 0\\
2{v_1}{v_2}\left( {{v_1} + {v_2}} \right) > 0
\end{array} \right. \Rightarrow \dfrac{{s{{\left( {{v_1} - {v_2}} \right)}^2}}}{{2{v_1}{v_2}\left( {{v_1} + {v_2}} \right)}} > 0\\
 \Leftrightarrow {t_1} - {t_2} > 0 \Rightarrow {t_1} > {t_2}
\end{array}$

Vậy vật 2 đến B trước vì thời gian đi quãng đường đó của vật 2 ít hơn thời gian đi quãng đường đó của vật 1 ( t1 > t2 ⇔ t2 < t1 ) và đến B trước vật kia 1 khoảng thời gian là:

$\dfrac{{s{{\left( {{v_1} - {v_2}} \right)}^2}}}{{2{v_1}{v_2}\left( {{v_1} + {v_2}} \right)}}$

c. Khi vật 2 đến B, vật 1 còn cách B 1 đoạn là:

Trong trường hợp nếu vật 1 chưa đi hết nữa quãng đường đầu:
$\begin{array}{l}
\Delta s = s - {s_1}' = s - {v_2}{t_2} = s - {v_2}.\dfrac{{2s}}{{{v_1} + {v_2}}}\\
\Delta s = s\left( {1 - \dfrac{{2{v_2}}}{{{v_1} + {v_2}}}} \right) = \dfrac{{s\left( {{v_1} - {v_2}} \right)}}{{{v_1} + {v_2}}}
\end{array}$

 Trong trường hợp vật 1 đi hết nữa quãng đường đầu thì:
${t_1}' = {t_2} - {t_1} = \dfrac{{2s}}{{{v_1} + {v_2}}} - \dfrac{s}{{2{v_1}}} = \dfrac{{s\left( {3{v_1} - {v_2}} \right)}}{{2{v_1}\left( {{v_1} + {v_2}} \right)}}$

Vật 1 còn cách B 1 đoạn là:
$\begin{array}{l}
\Delta s = \dfrac{s}{2} - {v_2}{t_1}' = \dfrac{s}{2} - {v_2}.\dfrac{{s\left( {3{v_1} - {v_2}} \right)}}{{2{v_1}\left( {{v_1} + {v_2}} \right)}}\\
 \Leftrightarrow \Delta s = s\left[ {\dfrac{1}{2} - \dfrac{{{v_2}\left( {3{v_1} - {v_2}} \right)}}{{2{v_1}\left( {{v_1} + {v_2}} \right)}}} \right] = s\left[ {\dfrac{{{v_1}\left( {{v_1} + {v_2}} \right) - {v_2}\left( {3{v_1} - {v_2}} \right)}}{{2{v_1}\left( {{v_1} + {v_2}} \right)}}} \right]\\
 \Leftrightarrow \Delta s = \dfrac{{s\left( {{v_1}^2 + {v_1}{v_2} - 3{v_2}{v_1} + {v_2}^2} \right)}}{{2{v_1}\left( {{v_1} + {v_2}} \right)}} = \dfrac{{s{{\left( {{v_1} - {v_2}} \right)}^2}}}{{2{v_1}\left( {{v_1} + {v_2}} \right)}}
\end{array}$