Hàm số nào sau đây đồng biến trên $\mathbb{R}$ ? A. $y=\frac{{2x-1}}{{x+1}}$ B. $y=2x-\cos 2x-5$ C. $y={{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+x+1$ D. $y=\sqrt{{{{x}^{2}}-x+1}}$
Đáp án đúng: B + Xét hàm số $\displaystyle y=\frac{{2x-1}}{{x+1}}$ có$y'=\frac{3}{{{{{(x+1)}}^{2}}}}>0,\forall x e -1$. Suy ra hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định. ⇒ Loại đáp án A. + Xét hàm số$y=2x-\cos 2x-5$ có$y'=2+2\sin 2x=2(1+\sin 2x)\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}$ và$y'=0\Leftrightarrow \sin 2x=-1$ Phương trình$\sin 2x=-1$ có vô số nghiệm nhưng các nghiệm tách rời nhau nên hàm số đồng biến trên$\mathbb{R}$. Do đó chọn B. + Xét hàm số$y={{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+x+1$ có$y'=3{{x}^{2}}-4x+1$. Phương trình$y'=0$ có hai nghiệm phân biệt nên hàm số không đồng biến trên$\mathbb{R}$⇒ Loại đáp án C. + Xét hàm số$y=\sqrt{{{{x}^{2}}-x+1}}$ có$y'=\frac{{2x-1}}{{2\sqrt{{{{x}^{2}}-x+1}}}}>0\Leftrightarrow x>\frac{1}{2}$⇒ Loại đáp án D.