Câu $2$
Cách $1$
Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky ta có
$ (a^2+b^2)(1+1) \ge (a+b)^2 = 1$
$\to 2(a^2+b^2) \ge 1$
$\to a^2+b^2 \ge \dfrac{1}{2}$ (đpcm)
Dấu $=$ xảy ra khi $ a = b = \dfrac{1}{2}$
Cách $2$
$ a^2 + b^2 \ge \dfrac{1}{2}$
$\to 2a^2 +2b^2 \ge 1$
$\to (2a^2+2b^2) \ge (a+b)^2$
$\to 2a^2 +2b^2 \ge a^2 +2ab + b^2$
$\to (a-b)^2 \ge 0$ (luôn đúng)
Vậy ta có đpcm
Câu $8$
Ta có $ a + b < ab $
$ (a+b)^2 < a^2b^2$
Lại có, với $ (a-b)^2 \ge 0 \to a^2 -2ab + b^2 \ge 0 \to (a+b)^2 \ge 4ab$
$\to a^2b^2> 4ab$
$\to ab > 4$
Ta có $ (a+b)^2 \ge 4ab > 16$
$\to a + b > 4$
