Hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x+\sqrt{{{x}^{2}}-2x+2}={{3}^{y-1}}+1\\y+\sqrt{{{y}^{2}}-2y+2}={{3}^{x-1}}+1\end{array} \right.$ có nghiệm là A. $\left( 1;1 \right).$

vycaroti143

2 năm trước

Hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x+\sqrt{{{x}^{2}}-2x+2}={{3}^{y-1}}+1\\y+\sqrt{{{y}^{2}}-2y+2}={{3}^{x-1}}+1\end{array} \right.$ có nghiệm là
A. $\left( 1;1 \right).$
B. $\left( 0;0 \right).$
C. $\left( 1;0 \right).$
D. $\left( 0;1 \right).$

Loga Hóa Học lớp 12

0 lượt thích 18 xem

1 trả lời

Thích Trả lời

thaolinhnga

Đáp án đúng: A
ĐKXĐ: $x,y\in R.$
Hệ tương đương với
$\left\{ \begin{array}{l}x-1+\sqrt{{{\left( x-1 \right)}^{2}}+1}={{3}^{y-1}}\\y-1+\sqrt{{{\left( y-1 \right)}^{2}}+1}={{3}^{x-1}}\end{array} \right.$
Đặt $\left\{ \begin{array}{l}x-1=u\\y-1=v\end{array} \right.$ ta được
$\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}u+\sqrt{{{u}^{2}}+1}={{3}^{v}}\\v+\sqrt{{{v}^{2}}+1}={{3}^{u}}\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}-1={{3}^{v}}\left( u-\sqrt{{{u}^{2}}+1} \right)\\-1={{3}^{u}}\left( v-\sqrt{{{v}^{2}}+1} \right)\end{array} \right.\\\Rightarrow \frac{u-\sqrt{{{u}^{2}}+1}}{{{3}^{u}}}=\frac{v-\sqrt{{{v}^{2}}+1}}{{{3}^{v}}}.\end{array}$
Xét hàm số $f\left( t \right)=\frac{t-\sqrt{{{t}^{2}}+1}}{{{3}^{t}}},t\in R$ ta có${f}'\left( t \right)=\frac{\left( \sqrt{{{t}^{2}}+1}-t \right)\left( 1+\sqrt{{{t}^{2}}+1}.\ln 3 \right)}{{{3}^{t}}}>0,\forall t\in R.$
Hàm số đồng biến trên $R.$
Khi đó, phương trình có nghiệm duy nhất là $u=v$.
Ta có phương trình trở thành $u+\sqrt{{{u}^{2}}+1}={{3}^{u}}\Leftrightarrow {{3}^{u}}\left( \sqrt{{{u}^{2}}+1}-u \right)=1.$ Xét hàm số $\begin{array}{l}g\left( u \right)={{3}^{u}}\left( \sqrt{{{u}^{2}}+1}-u \right),u\in R\\\Rightarrow {g}'\left( u \right)={{3}^{u}}\left( \sqrt{{{u}^{2}}+1}-u \right)\left( \ln 3-\frac{1}{\sqrt{{{u}^{2}}+1}} \right)>0,\forall u\in R.\end{array}$
Nên phương trình có nghiệm duy nhất $u=0.$
Từ đó, ta giải được $x=y=1.$
Đáp án A

Vote (0) Phản hồi (0) 2 năm trước

Các câu hỏi liên quan

Số nghiệm của phương trình là:
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3

Kết quả rút gọn của biểu thức $C=\sqrt{{{\log }_{a}}b+{{\log }_{b}}a+2}\left( {{\log }_{a}}b-{{\log }_{ab}}b \right)\sqrt{{{\log }_{a}}b}$ là
A. $\displaystyle \sqrt[3]{{{\log }_{a}}b}$
B. $.\sqrt{{{\log }_{a}}b}$
C. ${{\left( \sqrt{{{\log }_{a}}b} \right)}^{3}}$
D. $\displaystyle {{\log }_{a}}b$

Số nghiệm của phương trình là:
A. 0
B. 1
C. 2
D. 4

Số nghiệm của phương trình $\displaystyle {{9}^{{\frac{x}{2}}}}+9.{{\left( {\frac{1}{{\sqrt{3}}}} \right)}^{{2x+2}}}-4=0$ là
A. $2.$
B. $4.$
C. $1.$
D. $0.$

Biểu thức bằng:
A. 224
B.
C. 2-11
D. 2-24

Cho đường thẳng $\left\{ \begin{array}{l}x=0\\y=t\\z=2-t\end{array} \right.(t\in R).$

Phương trình đường vuông góc chung của d và trục Ox là
A. $\left\{ \begin{array}{l}x=1\\y=t\\z=t\end{array} \right..$
B. $\left\{ \begin{array}{l}x=0\\y=2t\\z=t\end{array} \right..$
C. $\left\{ \begin{array}{l}x=0\\y=2-t\\z=t\end{array} \right..$
D. $\left\{ \begin{array}{l}x=0\\y=t\\z=t\end{array} \right..$

Phương trình mặt cầu (S) có tâm A(3;-2;-2) và tiếp xúc với $\displaystyle \left( P \right):x+2y+3z-7=0.$ là
A. $\displaystyle {{(x-3)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z-2 \right)}^{2}}=14$.
B. $\displaystyle {{(x-3)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}+{{\left( z+2 \right)}^{2}}=\sqrt{14}$.
C. $\displaystyle {{(x-3)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}+{{\left( z+2 \right)}^{2}}=14$.
D. Không tồn tại mặt cầu trên.

Trong các mặt cầu sau đây, mặt cầu có tâm nằm trên mặt phẳng tọa độ Oxy là
A. (S1): x2 + y2 + z2 + 2x - 4y - 2 = 0.
B. (S2): x2 + y2 + z2 - 4y + 6z - 2 = 0.
C. (S3): x2 + y2 + z2 + 2x - 6z - 2 = 0.
D. (S4): x2 + y2 + z2 + 2x - 4y + 6z - 2 = 0.

Đồ thị bên dưới là của hàm số
A.
B.
C.
D.

Tập nghiệm của bất phương trình 27x + 12x ≤ 2. 8x là:
A. [0 ; +∞)
B. (0 ; +∞)
C. (-∞ ; 0]
D. (-∞ ; 0)

Loga.vn - Cộng Đồng Luyện Thi Trực Tuyến