Đáp án:
b) \(\left[ \begin{array}{l}
m = 2\\
m = - 4
\end{array} \right.\)
Giải thích các bước giải:
b) Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P)
\(\begin{array}{l}
\dfrac{1}{2}{x^2} = x + \dfrac{1}{2}{m^2} + m + 1\\
\to {x^2} = 2x + {m^2} + 2m + 2\\
\to {x^2} - 2x - {m^2} - 2m - 2 = 0\left( 1 \right)
\end{array}\)
Để (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt
⇒ Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt
\(\begin{array}{l}
\to 1 + {m^2} + 2m + 2 > 0\\
\to {\left( {m + 1} \right)^2} > 0\\
\to m + 1 \ne 0\\
\to m \ne - 1\\
Vi - et:\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = 2\\
{x_1}{x_2} = - {m^2} - 2m - 2
\end{array} \right.\\
x_1^3 + x_2^3 = 68\\
\to \left( {{x_1} + {x_2}} \right)\left( {{x_1}^2 - {x_1}{x_2} + {x_2}^2} \right) = 68\\
\to 2\left( {{x_1}^2 + 2{x_1}{x_2} + {x_2}^2 - 3{x_1}{x_2}} \right) = 68\\
\to {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 3{x_1}{x_2} = 34\\
\to 4 - 3\left( { - {m^2} - 2m - 2} \right) = 34\\
\to 3{m^2} + 6m + 6 = 30\\
\to 3{m^2} + 6m - 24 = 0\\
\to \left[ \begin{array}{l}
m = 2\\
m = - 4
\end{array} \right.
\end{array}\)
