Help me! Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA = a, AB = a, AC = 2a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi G là trọng tâm tam giác SAC .Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BGC).

trannguyenquynhnhu02468

6 năm trước

Help me!

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA = a, AB = a, AC = 2a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi G là trọng tâm tam giác SAC .Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BGC).

Loga Toán lớp 12

0 lượt thích 1929 xem

1 trả lời

Thích Trả lời

nguyendanglai

Ta có \(BC=\sqrt{(2a)^2-a^2}=a\sqrt{3}\), diện tích hình chữ nhật ABCD là \(S_{ABCD}=a.a\sqrt{3}=a^2.\sqrt{3}\)
Thể tích khối chóp là \(V=\frac{1}{3}SA.S_{ABCD}=\frac{a^3\sqrt{3}}{3}\)
Gọi O là giao điểm của AC và BD, H là hình chiếu vuông góc của G lên mp(ABCD) thì ta có \(GH=\frac{1}{3}SA=\frac{a}{3}\), thể tích khối chóp G.ABC là \(V_{G.ABC}=\frac{1}{3}.GH.\frac{1}{2}.S_{ABCD}=\frac{a^3\sqrt{3}}{18}\)
Mặt khác \(V_{G.ABC}=\frac{1}{3}.d_{(A,(BGC))}.S_{\Delta BGC}\Rightarrow d_{(A,(BGC))}=\frac{3V_{G.ABC}}{S_{\Delta BGC}}\)
Xét tam giác BGC ta có \(BC=a\sqrt{3}, CH=CO+OH=\frac{4}{3}CO=\frac{4}{3}a\) nên \(CG=\sqrt{\left ( \frac{4a}{3} \right )^2+\left ( \frac{a}{3} \right )^2}=\frac{a\sqrt{17}}{3}\), gọi N là trung điểm SD do \(SB=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt{2}\)

\(SD=\sqrt{a^2+3a^2}=2a\) nên \(BG=\frac{2}{3}BN=\frac{2}{3}\sqrt{\frac{2SA^2+2BD^2-SD^2}{4}}\)

\(\Rightarrow BG=\frac{2}{3}\sqrt{\frac{4a^2+8a^2-4a^2}{4}}=\frac{2a\sqrt{2}}{3}\)
Áp dụng định lí cô sin trong tam giác BGC ta có
\(cosB=\frac{\left ( \frac{2a\sqrt{a}}{3} \right )^2+3a^2-\frac{17a^2}{9}}{2.\frac{2a\sqrt{2}}{3}.a\sqrt{3}}=\frac{3}{\sqrt{2\sqrt{6}}}\Rightarrow sin B=\sqrt{1-\frac{9}{24}}=\sqrt{\frac{5}{8}}\)
từ đó ta có
\(S_{\Delta BGC}=\frac{1}{2}BG.BC.sinB=\frac{1}{2}.\frac{2a\sqrt{2}}{3}.a\sqrt{3}.\sqrt{\frac{5}{8}}=\frac{a^2\sqrt{15}}{6}\)
Vậy \(d_{(A,(BGC))}=\frac{3.\frac{a^3\sqrt{3}}{18}}{\frac{a^2\sqrt{15}}{6}}=\frac{a\sqrt{5}}{5}\)

Vote (0) Phản hồi (0) 6 năm trước

Các câu hỏi liên quan

Cho các số thực a, b thỏa mãn \(\left\{\begin{matrix} a+b\geq 5\\ a\geq 3 \end{matrix}\right.\)

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=2^{a}+2^{b}-a-b\).

Mình giải ra đáp số rồi mà không biết đúng hay sai nữa, khó quá.

Help me!

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số \(f(x) = x^2 - 2x\) và \(g(x) = 2x+5\).

Giải bất phương trình: \(3^{2(x+1)}-82.3^{x}+9\leq 0.\)

Mình giải ra đáp số rồi mà không biết đúng hay sai nữa, khó quá.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với cạnh AB=2a ,AD=a .Hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm H của AB, SC tạo với đáy một góc bằng 450. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (SCD).

Tính nguyên hàm \(F(x)=\int \frac{dx}{cos2x(1+sin2x)}\)

Help me!

Cho hàm số \(y=x^4-2x^2+m-1(1)\), với m là tham số thực
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1
b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt.

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;1;-5), B(2;4;3), C(1;5;2).
1) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với BC
2) Viết phương trình mặt cầu tâm I và tiếp xúc với mặt phẳng (Q): 2x – y + z – 6 = 0. Với I là điểm đối xứng của điểm A qua đường thẳng BC.

Hôm nay thầy em giao bài này về nhà mà em không có biết làm, mn giúp em vs!

Cho hình chóp S.ABC, tam giác ABC vuông tại B, \(AB = a , \widehat{ ACB} = 60^0, SA\perp (ABC)\). Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a và cosin của góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC), biết khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) bằng \(\frac{a}{2}\).

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x – 2y + z = 0 và đường thẳng d: \(\frac{x-1}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z+2}{-1}\) . Gọi A là giao điểm của (P) và d. Tìm tọa độ điểm M thuộc d và khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P), biết AM = \(\sqrt{6}\)

Cho x,y là các số không âm thỏa x2 + y2 = 2. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của:
\(P=5(x^5+y^5)+x^2y^2(5\sqrt{2xy+2}-4xy+12)\)

Loga.vn - Cộng Đồng Luyện Thi Trực Tuyến