`\qquad a+b>=2`
`a)` Ta chứng minh BĐT phụ:
`\qquad 2(a^2+b^2)>=(a+b)^2`
`<=> 2a^2+2b^2>=a^2+2ab+b^2`
`<=> a^2-2ab+b^2>=0`
`<=> (a-b)^2>=0 (\text{luôn đúng với mọi a;b})`
Ta có: `2(a^2+b^2)>=(a+b)^2`
`<=> 2(a^2+b^2)>=2^2`
`<=> a^2+b^2>=2 (\text{đpcm})`
Dấu = xảy ra khi `{(a+b=2),(a=b):}<=>a=b=1`
`b)` Áp dụng bđt Cosi cho 2 số dương a;b ta có:
`\qquad a+b>=2sqrt{ab}`
`=> 2sqrt{ab}<=2`
`<=> sqrt{ab}<=1`
`<=> ab<=1`
Xét `a^3+b^3-a^2-b^2`
`=(a+b)^3-3ab(a+b)-(a+b)^2+2ab`
`>=2^3-6ab-2^2+2ab`
`>=8-4-4ab`
`>=4-4ab`
Do `ab<=1<=>-4ab>=-4<=>4-4ab>=0`
`=> a^3+b^3-a^2-b^2>=0`
`<=> a^3+b^3>=a^2+b^2 (\text{đpcm})`
Dấu = xảy ra khi `{(a+b=2),(ab=1):}<=>a=b=1`
