a) Xét hai tam giác vuông ABI và DBI có
Góc ABI = DBI (gt)
BI cạnh chung
Do đó hai tam giác này bằng nhau (cạnh huyền - góc nhọn)
b) Do ∆ABI = ∆DBI
Nên BA = BD
Suy ra ∆ABD cân tại A
Ta lại có IA = ID
Nên BI là đường trung trực của AD (định lý 2)
c) Xét hai tam giác vuông AEI và DCI có
IA = ID
Góc ẢIE = DIC (đối đỉnh)
Do đó ∆AEI = ∆DCI (cạnh góc vuông - góc nhọn kề)
Suy ra IE = IC
Trong ∆IDC vuông tại I
IC > ID (cạnh huyền > cạnh góc vuông)
Nên IE > ID
d) I cách đều 3 đỉnh của ∆BEC
Tương đương BI = EI = CI
Do đó ∆BIC cân tại I
Suy ra góc ICB = IBC
Mà IBC = ABC/2
Nên ICB = ABC/2
Xét ∆ABC vuông tại A có góc C =góc B/2
Suy ra ∆ABC là nửa tam giác đều
⇒ Nửa tam giác đều là tam giác vuông có một góc bằng 60 độ cạnh là cạnh huyền
