`a)` Vẽ $EH\perp BC$ tại $H$; $EK\perp AB$ tại $K$; $EM\perp AC$ tại $M$
Vì $E$ là giao điểm hai phân giác ngoài của `\hat{B};\hat{C}`
`=>EK=EH;EM=EH`
`=>EK=EM`
`=>E` thuộc tia phân giác của `\hat{BAC}` $(1)$
Mà `D` là giao điểm hai phân giác trong của `\hat{B};\hat{C}`
`=>D` cũng thuộc phân giác trong của `\hat{BAC}` $(2)$
Từ `(1);(2)=>A;D;E` thẳng hàng
$\\$
`b)` Áp dụng tính chất phân giác trong và ngoài của $1$ góc thì vuông góc với nhau
`=>EB`$\perp BD$; $EC\perp CD$
`=>\hat{EBD}=\hat{ECD}=90°`
`=>\hat{EBD}+\hat{ECD}=90°+90°=180°`
Mà `\hat{EBD};\hat{ECD}` ở vị trí đối nhau
`=>BECD` nội tiếp đường tròn đường kính $DE$, tâm $O'$ là trung điểm $DE$
$\\$
_______________
(Nếu muốn chỉ rõ $O'$ là giao điểm $DE$ và $(O)$
Ta có:
`\qquad \hat{BDO'}=\hat{BAD}+\hat{ABD}` (tính chất góc ngoài)
`=1/ 2 \hat{BAC}+1/ 2 \hat{ABC}`
$\\$
$\quad O'$ là trung điểm $DE$
`=>BO'` là trung tuyến $∆ADE$ vuông tại $B$
`=>BO'=DO'=1/ 2 DE`
`=>∆BDO'` cân tại $O'
`=>\hat{BO'D}=180°-2\hat{BDO'}`
`=180°-2.(1/ 2 \hat{BAC}+1/ 2 \hat{ABC})`
`=180°-(\hat{BAC}+\hat{ABC})=\hat{BCA}`
`=>\hat{BO'A}=\hat{BCA}`
`=>O';C` cùng nhìn cạnh $AB$ dưới $2$ góc bằng nhau
`=>ABO'C` nội tiếp
Mà `A;B;C\in (O)`
`=>O'\in (O)`
`=>O'` là trung điểm $DE$ cũng vừa là giao điểm của $DE$ và $(O)$)
$\\$
`c)` Vì `BECD` nội tiếp (c/m trên)
`=>\hat{EDC}=\hat{EBC}` (cùng chắn cung $CE$)
`=>\hat{CDI}=\hat{EBI}`
Xét $∆CDI$ và $∆EBI$ có:
`\qquad \hat{CID}=\hat{EIB}` (hai góc đối đỉnh)
`\qquad \hat{CDI}=\hat{EBI}`
`=>∆CDI∽∆EBI` (g-g)
`=>{IC}/{IE}={ID}/{IB}`
`=>BI.IC = ID.IE`
