a) Áp dụng định lý Pytago, ta được:
$BC^2 = AB^2 + AC^2 = 3^2 + 4^2 = 25$
$\Rightarrow BC = 5\, cm$
Ta có: $AB.AC = AH.BC = 2S_{ABC}$
$\Rightarrow AH = \dfrac{AB.AC}{BC} = \dfrac{3.4}{5} = \dfrac{12}{5} \, cm$
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta được:
$AB^2 = BH.BC \Rightarrow BH = \dfrac{AB^2}{BC} = \dfrac{3^2}{5} = \dfrac{9}{5} \, cm$
$CH = BC - BH = 5 - \dfrac{9}{5} = \dfrac{16}{5} \, cm$
b) Ta có: $HM\perp AB \, (gt)$
$HN\perp AC \, (gt)$
$\Rightarrow \widehat{AMN} = \widehat{ANH} = 90^o$
Xét tứ giác $AMHN$ có:
$\widehat{A} = \widehat{M} = \widehat{N} = 90^o$
Do đó $AMHN$ là hình chữ nhật
$\Rightarrow MN = AH = \dfrac{12}{5} \, cm$
c) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta được:
$AM.AB = AH^2$
$AN.AC = AH^2$
Do đó $AM.AB = AN.AC$
