`a)`
Vì `ABCD` là hình bình hành
`⇒AB////CD(` tính chất hình bình hành `)`
`AB=CD(` tính chất hình bình hành `)`
Vì `AB////CD(cmt)`
Mà `E∈AB,F∈CD`
`⇒EA////FD`
Ta có:`EA=EB=(AB)/2(g``t)`
`FD=FC=(CD)/2(g``t)`
`AB=CD(cmt)`
`⇒EA=EB=FD=FC`
Xét tứ giác `AEFD` có:
`EA=FD(cmt)`
`EA////FD(cmt)`
`⇒` tứ giác `AEFD` là hình bình hành `(` tứ giác có `2` cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành `)(đpcm)`
`b)`
Vì `AB////CD(cmt)`
Mà `E∈AB,F∈CD`
`⇒EA////FC`
Xét tứ giác `AECF` có:
`EA////FC(cmt)`
`EA=FC(cmt)`
`⇒` tứ giác `AECF` là hình bình hành `(` tứ giác có `2` cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành `)`
`⇒AF////CE(` tính chất hình bình hành `)(đpcm)`
`c)`
Vì `AF////CE(cmt)`
Mà `M∈AF,N∈CE`
`⇒MF////EN`
Vì `AB////CD(cmt)`
Mà `E∈AB,F∈CD`
`⇒EB////FD`
Xét tứ giác `BEDF` có:
`EB////FD(cmt)`
`EB=FD(cmt)`
`⇒` tứ giác `BEDF` là hình bình hành `(` tứ giác có `2` cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành `)`
`⇒BF////DE(` tính chất hình bình hành `)`
Mà `N∈BF,M∈DE`
`⇒NF////EM`
Xét tứ giác `EMFN` có:
`MF////EN(cmt)`
`NF////EM(cmt)`
`⇒` tứ giác `EMFN` là hình bình hành `(` tứ giác có các cạnh đối song song là hình bình hành `)(đpcm)`
`d)`
Gọi `AC∩BD={O}`
Vì tứ giác `ABCD` là hình bình hành
`⇒O` là trung điểm của `2` đường chéo `AC` và `BD(` tính chất hình bình hành `)(1)`
Vì tứ giác `EMFN` là hình bình hành
`⇒O` là trung điểm của `2` đường chéo `EF` và `MN(` tính chất hình bình hành `)(2)`
Vì tứ giác `BEDF` là hình bình hành
`⇒O` là trung điểm của `2` đường chéo `EF` và `BD(` tính chất hình bình hành `)(3)`
Từ `(1),(2)` và `(3)⇒AC,BD,EF,MN` đồng quy tại điểm `O(đpcm)`
