Ta có:
Trong 1 giờ, kim giờ chạy được vòng
Trong 1 giờ, kim phút chạy được 1 vòng
Mỗi giờ kim phút chạy nhanh hơn kim giờ là:
1 - = (vòng)
Để kim phút gặp lại kim giờ thì kim phút phải chạy nhiều hơn kim giờ đúng 1 vòng. Vậy thời gian để kim phút gặp lại kim giờ là:
1 : = (giờ)
Tương tự, ta có:
Trong 1 giờ, kim giờ chạy được vòng
Trong 1 giờ, kim giây chạy được 60 vòng
Mỗi giờ kim giây chạy nhanh hơn kim giờ là:
60 - = (vòng)
Để kim giây gặp lại kim giờ thì kim giây phải chạy nhiều hơn kim giờ đúng 1 vòng. Vậy thời gian để kim giây gặp lại kim giờ là:
1 : = (giờ)
Như vây:
- Sau các khoảng thời gian: giờ, 2 . giờ, 3 . , ..., k . giờ, ... thì kim giây gặp lại kim giờ. (k là số tự nhiên).
- Sau các khoảng thời gian: giờ, 2 . giờ, 3 . giờ, ..., m . giờ, ... thì kim phút gặp lại kim giờ. (m là số tự nhiên)
Để ba kim trùng nhau thì kim giây và kim phút cùng gặp lại kim giờ. Tức là:
k x = m x
k x 11 = m x 719
Các số tự nhiên k và m nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện trên là: k = 719 và m = 11.
Tức là sau ít nhất: k x = 719 x = 12 giờ thì ba kim lại trùng nhau.
