$a)\Delta = {b^2} - 4ac = {\left( { - 1} \right)^2} - 4.1.m = 1 - 4m$
Để phương trình luôn có nghiệm thì $\Delta \geqslant 0 \Rightarrow 1 - 4m \geqslant 0 \Rightarrow m \leqslant \dfrac{1}{4}$
$b)$ Theo hệ thức Vi - ét: $\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = 1\\
{x_1}{x_2} = m
\end{array} \right.$
Theo đề bài, ta có:
$ x_1^2 + x_2^2 + {x_1} + {x_2} = 6\\ \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} + {x_1} + {x_2} = 6\\ \Leftrightarrow {1^2} - 2.m + 1 = 6\\ \Leftrightarrow - 2m = 4\\ \Leftrightarrow m = - 2 $
