Bài làm:
Câu 9: $y = \dfrac{x^3}{3} - x^2 + (m -1)x + m$
a) Với $m = 1$ ta được:
$y = \dfrac{x^3}{3} - x^2$
$TXD: D = \Bbb R$
$y' = x^2 - 2x$
$y' = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array}\right.$
Xét $y$ trên $[0;3]$
- Hàm số nghịch biến trên $(0;2)$
- Hàm số đồng biến trên $(2;3)$
$y(0) = y(3) = 0;\, y(2) = -\dfrac{4}{3}$
Vậy $\mathop{\max}\limits_{x \in [0;3]}y = 0$ tại $x = 0$ và $x = 3$
$\mathop{\min}\limits_{x \in [0;3]}y = -\dfrac{4}{3}$ tại $x = 2$
Ta có:
$y'' = 2x - 2$
$y'' = 6 \Leftrightarrow 2x - 2 = 6 \Leftrightarrow x = 4 \Rightarrow y = \dfrac{16}{3}$
$\Rightarrow y'(4) = 8$
Phương trình tiếp tuyến tại $M\left(4;\dfrac{16}{3}\right)$ có dạng:
$y = y'(4)(x - 4) + \dfrac{16}{3}$
$\Leftrightarrow y = 4x - \dfrac{32}{3}$
b) $y' = x^2 - 2x + m - 1$
Hàm số đồng biến trên $\Bbb R$
$\Leftrightarrow \begin{cases}a > 0\\\Delta_{y'}' \leq 0\end{cases}$
$\Leftrightarrow 1 - (m -1) \leq 0$
$\Leftrightarrow m \geq 2$
Câu 10:
a) $2\cos^2x - 4\cos x = 4\sin x - \sin2x$
$\Leftrightarrow \cos x(\cos x - 2) = \sin x(2 - \cos x)$
$\Leftrightarrow (\cos x - 2)(\cos x + \sin x) = 0$
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}\cos x = 2 > 1 \qquad (loại)\\\sin x + \cos x = 0\quad (nhận)\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow \sin\left(x + \dfrac{\pi}{4}\right) =0$
$\Leftrightarrow x + \dfrac{\pi}{4} = k\pi$
$\Leftrightarrow x = -\dfrac{\pi}{4} + k\pi\quad (k \in \Bbb Z)$
b) $\log\dfrac{x +1}{x -1} = 1 + \log x$ $(*)$
$ĐKXĐ:\, x > 1$
$(*) \Leftrightarrow \log\dfrac{x +1}{x -1} = \log10 + \log x$
$\Leftrightarrow \log\dfrac{x +1}{x -1} = \log10x$
$\Leftrightarrow \dfrac{x +1}{x -1} = 10x$
$\Leftrightarrow x + 1 = 10x(x -1)$
$\Leftrightarrow 10x^2 - 11x - 1 = 0$
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x = \dfrac{11 - \sqrt{161}}{20} < 1\quad (loại)\\x = \dfrac{11 + \sqrt{161}}{20}\qquad (nhận)\end{array}\right.$
c) $2^{4x^2 + 3x} = 1$
$\Leftrightarrow 2^{4x^2 + 3x} = 2^0$
$\Leftrightarrow 4x^2 + 3x = 0$
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x = 0\\x = -\dfrac{3}{4}\end{array}\right.$
Câu 11:
- Số cách chọn 8 học sinh giỏi bất kì trong 18 học sinh giỏi toàn diện của trường:
$C_{18}^8 = 43758$ (cách)
- Số cách chọn 8 học sinh giỏi bất kì nhưng không có học sinh khối 12:
$C_{11}^8 = 165$ (cách)
- Số cách chọn 8 học sinh bất kì nhưng không có học sinh khối 11:
$C_{12}^8 =495$ (cách)
- Số cách chọn 8 học sinh bất kì nhưng không có học sinh khối 10:
$C_{13}^8 = 1287$ (cách)
- Số cách chọn 8 học sinh bất kì sao cho mỗi khối có ít nhất 1 học sinh:
$43758 - (165 + 495 + 1287) = 41811$ (cách)
