Đáp án + Giải thích các bước giải:
Bài 4:
$a)\; A=\sqrt{x^2+x+\dfrac54}$
$A=\sqrt{x^2+x+\dfrac14 + 1}$
$A=\sqrt{\left(x+\dfrac12\right)^2+1}$
Vì $\left(x+\dfrac12\right)^2≥0⇒\left(x+\dfrac12\right)^2+1≥1$
Dấu $"="$ xảy ra khi $x+\dfrac12 = 0 ⇔ x=-\dfrac12$
Vậy $\min A=1$ khi $x=-\dfrac12$
$b)\; B=\sqrt{4x^4-4x^2(x+1)+(x+1)^2 + 9}$
$B=\sqrt{(2x-x+1)^2 + 9}$
Vì $(2x-x+1)^2 ≥ 0 ⇒ (2x-x+1)^2 + 9 ≥ 9$
Dấu $"="$ xảy ra khi $x+1=0 ⇔ x=-1$
Vậy $\min B = 9$ khi $x=-1$
$c)\; C=\sqrt{9x^2-6x+1}+\sqrt{9x^2-30x+25}$
$C=\sqrt{(3x-1)^2}+\sqrt{(3x-5)^2}$
$C=|3x-1|+|3x-5| ≥ |3x-1+3x-5| = 6$
Vậy $\min C = 6$ khi $(3x-1)(3x-5) ≥ 0$
Bài 5: Xem lại đề nha!
Bài 6: Thế $ab+bc+ca=1$ vào các đa thức ta có:
$\sqrt{(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)}=\sqrt{(a+b)(a+c)(b+a)(b+c)(a+c)(b+c)}$
$=\sqrt{(a+b)^2(a+c)^2(b+c)^2}=|(a+b)(a+c)(b+c)|$ là một số hữu tỉ
$→$ đpcm
Bài 7:
$a)$ Ta có: $x^2+y^2 ≥ 2xy$
$⇔ 1 ≥ 2xy$
$⇒ (x+y)^2≤2(x^2+y^2)=2 ⇔ -\sqrt 2 ≤ x+y ≤ \sqrt 2$ (đpcm)
$b)$ Ta có: $\dfrac1x+\dfrac1y+\dfrac1z-\dfrac{1}{\sqrt{xy}}-\dfrac{1}{\sqrt{yz}}-\dfrac{1}{\sqrt{zx}}≥0$
$⇔ \dfrac1x+\dfrac1x+\dfrac1y+\dfrac1y+\dfrac1z+\dfrac1z-\dfrac{1}{\sqrt{xy}}-\dfrac{1}{\sqrt{xy}}-\dfrac{1}{\sqrt{yz}}-\dfrac{1}{\sqrt{yz}}-\dfrac{1}{\sqrt{zx}}-\dfrac{1}{\sqrt{zx}}≥0$
$⇔ \left(\dfrac{1}{\sqrt{x}}-\dfrac{1}{\sqrt{y}}\right)^2+\left(\dfrac{1}{\sqrt{y}}-\dfrac{1}{\sqrt{z}}\right) ^2+\left(\dfrac{1}{\sqrt{z}}-\dfrac{1}{\sqrt{x}}\right)^2\ge0$
Vậy $\dfrac1x+\dfrac1y+\dfrac1z≥\dfrac{1}{\sqrt{xy}}+\dfrac{1}{\sqrt{yz}}+\dfrac{1}{\sqrt{zx}}$
