`a)` $AH\perp BC$ tại $H$
`=>\hat{AHB}=90°`
$\quad BE\perp AD$ tại $E$
`=>\hat{AEB}=90°`
`=>\hat{AHB}=\hat{AEB}=90°`
`=>ABHE` nội tiếp (vì có $2$ đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh $AB$ dưới góc vuông)
`=>\hat{DEH}=\hat{ABH}` (góc ngoài tại $1$ đỉnh bằng góc trong đỉnh đối diện)
$\\$
Ta có:
`\qquad \hat{ABH}=\hat{ADC}` (cùng chắn cung $AC$ của $(O))$
`=>\hat{DEH}=\hat{ADC}`
Mà `\hat{DEH};\hat{ADC}` ở vị trí so le trong
`=>HE`//$DC$ $\ (1)$
$\\$
Ta lại có:
`\qquad \hat{ACD}=90°` (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
`=>AC`$\perp DC$ $\ (2)$
Từ `(1);(2)=>AC`$\perp HE$
$\\$
`b)` Vẽ $BN\perp AC$ tại $N$
`\qquad ` Xét tứ giác $ANEB$ có:
`\qquad \hat{ANB}=\hat{AEB}=90°`
`=>ANEB` nội tiếp (có $2$ đỉnh kề nhau $N;E$ cùng nhìn cạnh $AB$ dưới góc vuông)
`=>\hat{BNE}=\hat{BAE}` (cùng chắn cung $BE$)
Mà `\hat{BCD}=\hat{BAE}` (cùng chắn cung $BD$ của $(O))$
`=>\hat{BNE}=\hat{BCD}`
$\\$
Ta có: $BN$//$DC$ (cùng vuông góc $AC$)
`=>\hat{NBM}=\hat{BCD}` (hai góc so le trong)
`=>\hat{BNE}=\hat{NBM}` $(3)$
$\\$
$\quad ∆BCN$ vuông tại $N$ có trung tuyến $NM$
`\qquad ` (do $M$ là trung điểm $BC$)
`=>MN=MB=1/ 2 BC`
`=>BMN` cân tại $M$
`=>\hat{NBM}=\hat{BNM}` $(4)$
Từ `(3);(4)=>\hat{BNE}=\hat{BNM}`
`=>N;E;M` thẳng hàng
$\\$
Xét $∆BMN$ có $HE$//$BN$ (cùng vuông góc $AC$)
`=>{MH}/{MB}={ME}/{MN}` (định lý Talet)
Mà `MN=MB` (c/m trên)
`=>MH=ME`
$\\$
Vẽ $CK\perp AB$ tại $K$, chứng minh tương tự được $MH=MF$
$\\$
`=>MH=ME=MF`
`=>M` cách đều $3$ đỉnh $H;E;F$ của $∆HEF$
`=>`$M$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $∆HEF$
