Đáp án+Giải thích các bước giải:
a, Xét $\triangle AFH$ vuông tại H có:
$FI$ là trung uyến ứng với cạnh huyền
=> $FI = \dfrac{AH}{2}=AI$
=> $\triangle AFI$ cân tại I
=> $\widehat{IFA}=\widehat{IAF}$
CMTT có: $\widehat{OFB}=\widehat{OBF}$
=> $\widehat{IFA}+\widehat{OFB}=\widehat{IAF}+\widehat{OBF}=90°$ (do $\triangle ABD$ vuông tại D)
=> $\widehat{IFO}=90°$
=> $\triangle IFO$ vuông tại F
CMTT: $\triangle IEO$ vuông tại E
b, Do $FI=EI$ ($=\dfrac{AH}{2}$)
=> $I$ nằm trên trung trực của $EF$ (1)
Do $FO=EO$ ($=\dfrac{BC}{2}$)
=> $O$ nằm trên trung trực của $EF$ (2)
Từ (1), (2) => $OI$ là trung trực của $EF$
c, $OI$ là trung trực của $EF$
=> $OI\bot EF$ tại $K$
Áp dụng hệ thức lượng cho $\triangle OFI$ vuông tại F có đường cao $FK$:
$IK.IO=IF^{2}=\dfrac{AH^{2}}{4}$
hay ${AH^{2}}=4IK.IO$
d, $\triangle AFC$ vuông tại F có: $\cos(\widehat{A})=\dfrac{AF}{AC}$ (3)
$\triangle AEB$ vuông tại E có: $\cos(\widehat{A})=\dfrac{AE}{AB}$ (4)
Từ (3), (4) => $\dfrac{AF}{AC}=\dfrac{AE}{AB}$
lại có $\widehat{A}$ chung
=> $\triangle AFE$ ≈ $\triangle ACB$
=> $\dfrac{EF}{BC}=\dfrac{AE}{AB}= \cos(\widehat{A})$ (theo (4)
