Lời giải.
`a)` Xét `ΔABC` cân tại `A` có đường cao `AH`
`=>AH` đồng thời là đường trung tuyến của `ΔABC`
`<=>H` là trung điểm của `BC.`
Xét `ΔCBD` có:
$AH//BD$ (vì `AH⊥BC,BD⊥BC`)
`H` là trung điểm của `BC` `(1)`
`=>A` là trung điểm của `CD` `(2)`
Từ `(1)` và `(2)` suy ra `AH` là đường trung bình của `ΔCBD`
`<=>AH=1/2BD`
`<=>BD=2AH.`
Vậy `BD=2AH.`
`b)` Xét `ΔBCD` vuông tại `B` có đường cao `BK`, ta suy ra
`S_{ΔBCD}=1/2 . BK.CD= 1/2 . BC . DB`
(Lưu ý <đọc thêm để hiểu>: Diện tích tam giác vuông có thể tính theo hai cách:
+) `1/2` tích của đường cao nhân cạnh huyền
+) `1/2` tích của hai cạnh góc vuông)
`=>BK.CD=AB.AC`
Lại có: `ΔBCD` vuông tại `B` nên theo định lí $Pi-ta-go$ ta có:
`BC^2+BD^2=CD^2`
`<=>BK^2 . (BC^2+BD^2)= BK^2 . CD^2 = (BK.CD)^2`
`<=>BK^2 . (BC^2+BD^2)=(BC.DB)^2`
`<=>BK^2 . (BC^2 + BD^2) = BC^2 . BD^2`
Chia cả hai vế cho `BC^2+BD^2` ta được:
`BK^2 = {BC^2 . BD^2}/{BC^2 + BD^2}`
`<=>1/{BK^2}= {BC^2 + BD^2}/{BC^2 . BD^2}`
`<=>1/{BK^2}= {BC^2 }/{BC^2 . BD^2}+{BD^2 }/{BC^2 . BD^2}`
`<=>1/{BK^2}= {1}/{BD^2}+{1 }/{BC^2}`
Mà `BD=2AH` nên ta thay vào biểu thức trên ta được:
`1/{BK^2}= {1}/{(2AH)^2}+{1 }/{BC^2}`
`<=>1/{BK^2}= {1}/{4HA^2}+{1 }/{BC^2}.`
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Chú ý: bên trên là cách chứng minh `ΔΔBCD` vuông tại `B` có đường cao `BK=>1/{BK^2}= {1}/{BD^2}+{1 }/{BC^2}`. Khi học, ta sẽ gọi là hệ thức lượng và không cần chứng minh lại (khi học xong).
Hình vẽ.
