Đáp án:

Giải thích các bước giải:

$F=x^2+y^2-2x+3y+10$

$=x^2-2x+1+y^2+3y+9$

$=(x-1)^2+\left (y^2+3y+\dfrac{9}{4} \right )+\dfrac{27}{4}$

$=(x-1)^2+\left (y+\dfrac{3}{2} \right )^2+\dfrac{27}{4}$

$(x-1)^2 ; \left (y+\dfrac{3}{2} \right )^2 \geq 0∀x;y$

$⇒(x-1)^2+\left (y+\dfrac{3}{2} \right )^2+\dfrac{27}{4} \geq \dfrac{27}{4} ∀x;y$

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi :

$\left\{ \begin{matrix}x=1\\y=-\dfrac{3}{2}\end{matrix} \right.$

$G=x^2+y^2+2xy-4x-4y+10$

$G=2x^2-x^2+2y^2-y^2+2xy-4x-4y+10$

$=(2x^2-4x+2)+(2y^2-4y+2)-(x^2-2xy+y^2)+6$

$=2(x-1)^2+2(y-1)^2-(x-y)^2+6$

$2(x-1)^2 ; 2(y-1)^2 ;( x-y)^2 \geq 0∀x ; y$

$⇒2(x-1)^2+2(y-1)^2-(x-y)^2+6 \geq 6∀x;y$

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi :

$\left\{ \begin{matrix}x=1\\y=1\\x=y\end{matrix} \right.$

$⇒x=y=1$

$H=x^2+5y^2-4xy-3y+10$

$=x^2-4xy+4y^2+y^2-3y+\dfrac{9}{4}+\dfrac{31}{4}$

$=(x-2y)^2+\left (y-\dfrac{3}{2} \right )^2+\dfrac{31}{4}$

$(x-2y)^2 ; \left (y-\dfrac{3}{2} \right )^2 \geq 0∀x;y$

$⇒(x-2y)^2+\left (y-\dfrac{3}{2} \right )^2+\dfrac{31}{4} \geq \dfrac{31}{4} ∀x;y$

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi :

$\left\{ \begin{matrix}x=2y\\y=\dfrac{3}{2}\end{matrix} \right.$

$⇔\left\{ \begin{matrix}x=2.\dfrac{3}{2}\\y=\dfrac{3}{2}\end{matrix} \right.$

$⇔\left\{ \begin{matrix}x=3\\y=\dfrac{3}{2}\end{matrix} \right.$

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

F=x² + y² -2x +3y+10

  =(x² -2x +1) +(y² +2.$\frac{3}{2}$ y +$\frac{9}{4}$ ) +$\frac{27}{4}$ 

 =(x-1)² +(y +$\frac{3}{2}$ )² +$\frac{27}{4}$ 

với mọi giá trị của x ;ythì : (x-1)²  ≥0 ;(y +$\frac{3}{2}$ )² ≥0

⇒F=(x-1)² +(y +$\frac{3}{2}$ )² +$\frac{27}{4}$  ≥$\frac{27}{4}$

dấu"=" xảy ra khi:

$\left \{ {{x-1=0} \atop {y +$\frac{3}{2}$=0}} \right.$ 

⇔ $\left \{ {{x =1} \atop {y=-$\frac{3}{2}$}} \right.$ 

vậy min F=$\frac{27}{4}$ khi $\left \{ {{x =1} \atop {y=-$\frac{3}{2}$}} \right.$ 

G=x² +y² +2xy -4x-4y

   =(x² +2xy+y²) -(4x+4y)

  =(x+y)² -4.(x+y) +4 -4

  =(x+y)² -2.2.(x+y) +2² -4  (hằng đẳng thức số 2)

  =(x+y -2)² -4

với mọi giá trị của x ;y thì :(x+y -2)² ≥0

⇒G=(x+y -2)² -4 ≥ -4

dấu "=" xảy ra khi :

x+y -2=0

⇒x+y =2

Vậy min G=-4 khi x+y=2

H =x² +5y² -4xy -3y +10

   =(x² -4xy +4y²) +(y² -3y +$\frac{9}{4}$ ) +$\frac{31}{4}$

    =(x+2y)²  +( y² -2.$\frac{3}{2}$ .y +$\frac{9}{4}$ ) +$\frac{31}{4}$

   =(x+2y)² +(y  - $\frac{3}{2}$ )²  + $\frac{31}{4}$

với mọi giá trị của x;y thì :(x+2y)² ≥0  ;(y  - $\frac{3}{2}$ )² ≥0

⇒H=(x+2y)² +(y - $\frac{3}{2}$ )² + $\frac{31}{4}$ ≥$\frac{31}{4}$ 

dấu"=" xảy ra khi:

$\left \{ {{x+2y=0} \atop {y - $\frac{3}{2}$=0}} \right.$ 

⇔$\left \{ {{x+2$\frac{3}{2}$=0} \atop {y = $\frac{3}{2}$}} \right.$

⇔$\left \{ {{x+3=0} \atop {y = $\frac{3}{2}$}} \right.$

⇔$\left \{ {{x  = -3} \atop {y = $\frac{3}{2}$}} \right.$

Vậy min H=$\frac{31}{4}$  khi $\left \{ {{x  = -3} \atop {y = $\frac{3}{2}$}} \right.$