a/ Xét $\Delta{ABC}$:
$H,K$ là trung điểm $BC,AC$
$\to HK$ là đường trung bình $\Delta{ABC}$
$\to HK//AB$
$\to ABHK$ là hình thang
b/ Xét $\Delta{ABC}$ cân tại $A$:
$AH$ là trung tuyến $BC$
$\to AH$ là trung trực $BC$ mà $HE$ là tia đối $HA$
$\to AE$ là trung trực $BC$
$\to EB=EC$ (tính chất đường trung trực trong $\Delta$)
Xét $\Delta{AHB}$ và $\Delta{EHC}$:
$HB=HC$ ($H$ là trung điểm $BC$)
$\widehat{AHB}=\widehat{EHC}$ (đối đỉnh)
$HA=HE(gt)$
$\to \Delta{AHB}=\Delta{EHC}(c-g-c)$
$\to EC=AB$
Ta có: $\begin{cases}AB=AC\\EB=EC\\EC=AB\end{cases}\to AB=AC=EB=EC$
Xét tứ giác $ABEC$: $AB=AC=EB=EC$
$\to ABEC$ là hình thoi
c/ $AH$ là trung trực $BC$
$\to AH\perp BC$ mà $AD\perp AH$
$\to AD//BC$
$\to \widehat{KAD}=\widehat{KCH}$ (so le trong)
Xét $\Delta{KAD}$ và $\Delta{KCH}$:
$\widehat{KAD}=\widehat{KCH}(cmt)$
$AK=CK$ ($K$ là trung điểm $AC$)
$\widehat{AKD}=\widehat{CKH}$ (đối đỉnh)
$\to \Delta{KAD}=\Delta{KCH}(g-c-g)$
$\to AD=CH$ (2 cạnh tương ứng)
mà $CH=BH$ ($AH$ là trung trực $BC$)
$\to AD=BH$ mà $AD//BH$ ($AD//BC$)
$\to ADHB$ là hình bình hành
d/ $AD//BC\to AD//CH$ mà $AD=CH$
$\to ADCH$ là hình bình hành
mà $\widehat{HAD}=90°$ ($AD\perp AH$)
$\to ADCH$ là hình chữ nhật
