$\quad \sin x\cos x - m(\sin x +\cos x)+1 = 0$
Đặt $t =\sin x +\cos x\quad \left(t\in\left[-\sqrt2;\sqrt2\right]\right)$
$\Rightarrow t^2 = 1 + 2\sin x\cos x$
$\Rightarrow \dfrac{t^2 - 1}{2}= \sin x\cos x$
Phương trình trở thành:
$\quad \dfrac{t^2 -1}{2} - mt + 1 = 0$
$\Leftrightarrow t^2 - 2mt + 1 = 0\qquad (*)$
Phương trình đã cho có nghiệm
$\Leftrightarrow (*)$ có nghiệm $t\in\left[-\sqrt2;\sqrt2\right]$
$+)\quad TH1:\ (*)$ có $2$ nghiệm $t\in\left[-\sqrt2;\sqrt2\right]$
$\Leftrightarrow -\sqrt2 \leqslant t_1 \leqslant t_2 \leqslant \sqrt2$
$\Leftrightarrow \begin{cases}\Delta' \geqslant 0\\af\left(-\sqrt2\right)\geqslant 0\\af\left(\sqrt2\right)\geqslant 0\\-\sqrt2 \leqslant \dfrac{S}{2} \leqslant \sqrt2\end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases}m^2 - 1 \geqslant 0\\3 + 2m\sqrt2 \geqslant 0\\3- 2m\sqrt2 \geqslant 0\\-\sqrt2 \leqslant m \leqslant \sqrt2\end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases}\left[\begin{array}{l}m \geqslant 1\\m \leqslant -1\end{array}\right.\\m\geqslant - \dfrac{3\sqrt2}{4}\\m\leqslant \dfrac{3\sqrt2}{4}\\-\sqrt2 \leqslant m \leqslant \sqrt2\end{cases}$
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}- \dfrac{3\sqrt2}{4}\leqslant m \leqslant -1\\1 \leqslant m \leqslant \dfrac{3\sqrt2}{4}\end{array}\right.$
$+)\quad TH2:\ (*)$ có $1$ nghiệm $t\in\left[-\sqrt2;\sqrt2\right]$
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}t_1\leqslant -\sqrt2 \leqslant t_2 \leqslant \sqrt2\\-\sqrt2 \leqslant t_1\leqslant \sqrt2 \leqslant t_2\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow f\left(-\sqrt2\right).f\left(\sqrt2\right) \leqslant 0$
$\Leftrightarrow \left(3 + 2m\sqrt2\right)\left(3 -2m\sqrt2\right)\leqslant 0$
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}m \geqslant \dfrac{3\sqrt2}{4}\\m \leqslant -\dfrac{3\sqrt2}{4}\end{array}\right.$
Vậy $m\in (-\infty;-1]\cup [1;+\infty)$
Do tập $m$ đối xứng qua $0$ nên tổng các giá trị $m= 0$
