`a)` $AH=12cm;AB=15cm$
`∆ABH` vuông tại $H$
`=>AB^2=AH^2+BH^2` (định lý Pytago)
`=>BH^2=AB^2-AH^2=15^2-12^2=81`
`=>BH=\sqrt{81}=9cm`
$\\$
$∆ABC$ vuông tại $A$ đường cao $AH$
`=> AB^2=BH.BC` (hệ thức lượng)
`=>BC={AB^2}/{BH}={15^2}/9=25cm`
`\qquad AB^2+AC^2=BC^2` (định lý Pytago)
`=>AC^2=BC^2-AB^2=25^2-15^2=400`
`=>AC=\sqrt{400}=20cm`
Chu vi $∆ABC$ là:
`P_{∆ABC}=AB+AC+BC=15+20+25=60(cm)`
$\\$
Xét $∆ABH$ vuông tại $H$
`=>cos\hat{BAH}={AH}/{AB}={12}/{15}=4/5`
`=>\hat{BAH}≈36°52'`
Vậy `P_{∆ABC}=60cm; \hat{BAH}≈36°52'`
$\\$
`b)` $∆ABC$ vuông tại $A$ đường cao $AH$
`=>AH^2=HB.HC` (hệ thức lượng) $(1)$
Xét $∆ABH$ vuông tại $H$ có $HD\perp AB $
`=>AH^2=AD.AB` (hệ thức lượng) $(2)$
Xét $∆ACH$ vuông tại $H$ có $HE\perp AC$
`=>AH^2=AE.AC` $(3)$
Từ `(1);(2);(3)`
`=>HB.HC=AE.AC=AD.AB` (đpcm)
$\\$
`c)` Xét $∆ABH$ vuông tại $H$
`=>cosB={HB}/{AB}`
`=>HB=AB cosB` $(4)$
Xét $∆ACH$ vuông tại $H$
`=>cosC={HC}/{AC}`
`=>HC=AC cosC` $(5)$
Từ `(4);(5)`
`=>BC=HB+HC=AB cos B+AC cos C`
Vậy: `BC=AB cos B+AC cos C` (đpcm)