Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Bài cấp 3, đã khó còn 10đ :v
Em làm theo kiểu mà em biết (nếu khác cách của cấp 3 thì anh tự chỉnh chứ em không biết đâu)
$u_{n+1}+\sqrt{2}=\dfrac{u_{n}+2}{u_{n}+1}+\sqrt{2}$
$⇔u_{n+1}+\sqrt{2}=\dfrac{(1+\sqrt{2})u_{n}+2+\sqrt{2}}{u_{n}+1}$
$⇔\dfrac{1}{u_{n+1}+\sqrt{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}+1}.\dfrac{u_{n}+1}{u_{n}+\sqrt{2}}$
$⇔\dfrac{1}{u_{n+1}+\sqrt{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}+1}\left(1+\dfrac{1-\sqrt{2}}{u_{n}+\sqrt{2}}\right)$
$⇔\dfrac{1}{u_{n+1}+\sqrt{2}}=\sqrt{2}-1+\dfrac{2\sqrt{2}-3}{u_{n}+\sqrt{2}}$
$⇔\dfrac{1}{u_{n+1}+\sqrt{2}}-\dfrac{\sqrt{2}}{4}=\sqrt{2}-1+\dfrac{2\sqrt{2}-3}{u_{n}+\sqrt{2}}-\dfrac{\sqrt{2}}{4}$
$⇔\dfrac{1}{u_{n+1}+\sqrt{2}}-\dfrac{\sqrt{2}}{4}=(2\sqrt{2}-3)\left(\dfrac{1}{u_{n}+\sqrt{2}}-\dfrac{\sqrt{2}}{4} \right)$
Đặt $x_{n}=\dfrac{1}{u_{n}+\sqrt{2}}-\dfrac{\sqrt{2}}{4}$
$⇒\begin{cases}x_{1}=\dfrac{1}{u_{1}+\sqrt{2}}-\dfrac{\sqrt{2}}{4}=\dfrac{-4+3\sqrt{2}}{4}\\x_{n+1}=(2\sqrt{2}-3)x_{n}\\\end{cases}$
$⇒x_{n}$ là cấp số nhân với công bội $q=2\sqrt{2}-3$
$⇒x_{n}=\dfrac{-4+3\sqrt{2}}{4}.(2\sqrt{2}-3)^{n-1}=-\dfrac{\sqrt{2}}{4}.(2\sqrt{2}-3)^{n}$
$⇒\dfrac{1}{u_{n}+\sqrt{2}}-\dfrac{\sqrt{2}}{4}=-\dfrac{\sqrt{2}}{4}.(2\sqrt{2}-3)^{n}$
$⇒\dfrac{1}{u_{n}+\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{4}\left[1-(2\sqrt{2}-3)^{n}\right]$
$⇒u_{n}+\sqrt{2}=\dfrac{2\sqrt{2}}{1-(2\sqrt{2}-3)^{n}}$
$⇒u_{n}=\dfrac{2\sqrt{2}}{1-(2\sqrt{2}-3)^{n}}-\sqrt{2}=\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{2}(2\sqrt{2}-3)^{n}}{1-(2\sqrt{2}-3)^{n}}$
Trời thề luôn cái bài gì đâu á, tính toán loạn cả não
