Đáp án:
Giải thích các bước giải:
ĐKXĐ $: x + 3 ≥ 0; y ≥ 0; (x - y)² + 4(2x - y) + 15 ≥ 0$
Biến đổi PT thứ nhất:
$\sqrt{(x - y)² + 4(2x - y) + 15} - \sqrt{y} = \sqrt{x + 3} $
$ ⇔(\sqrt{(x - y)² + 4(2x - y) + 15} - 2\sqrt{y}) - (\sqrt{x + 3} - \sqrt{y}) = 0$
$ ⇒ \dfrac{(x - y)² + 4(2x - y) + 15 - 4y}{\sqrt{(x - y)² + 4(2x - y) + 15} + 2\sqrt{y}} - \dfrac{x + 3 - y}{\sqrt{x + 3} + \sqrt{y}} = 0$
$ ⇔ \dfrac{(x - y)² + 8(x - y) + 15}{\sqrt{(x - y)² + 4(2x - y) + 15} + 2\sqrt{y}} - \dfrac{x + 3 - y}{\sqrt{x + 3} + \sqrt{y}} = 0$
$ ⇔ \dfrac{(x - y + 3)(x - y + 5)}{\sqrt{(x - y)² + 4(2x - y) + 15} + 2\sqrt{y}} - \dfrac{x - y + 3}{\sqrt{x + 3} + \sqrt{y}} = 0$
$ ⇔ (x - y + 3)(\dfrac{x - y + 5}{\sqrt{(x - y)² + 4(2x - y) + 15} + 2\sqrt{y}} - \dfrac{1}{\sqrt{x + 3} + \sqrt{y}}) = 0$
TH1 $: x - y + 3 = 0 ⇔ y = x + 3$ thay vào PT thứ hai:
$ \sqrt{x² + 2x + 13} + \sqrt[3]{x} = 5 $
$ ⇔ \sqrt{x² + 2x + 13} - 4 + \sqrt[3]{x} - 1 = 0 $
$ ⇔ \dfrac{(x² + 2x + 13) - 16}{\sqrt{x² + 2x + 13} + 4} + \dfrac{x - 1}{\sqrt[3]{x²} + \sqrt[3]{x} + 1} = 0$
$ ⇔ \dfrac{(x - 1)(x + 3)}{\sqrt{x² + 2x + 13} + 4} + \dfrac{x - 1}{\sqrt[3]{x²} + \sqrt[3]{x} + 1} = 0$
$ ⇔ (x - 1)(\dfrac{x + 3}{\sqrt{x² + 2x + 13} + 4} + \dfrac{1}{\sqrt[3]{x²} + \sqrt[3]{x} + 1}) = 0$
$ ⇔ x - 1 = 0 ⇔ x = 1 ⇒ y = x + 3 = 4 (TM)$
TH2 $: \dfrac{x - y + 5}{\sqrt{(x - y)² + 4(2x - y) + 15} + 2\sqrt{y}} - \dfrac{1}{\sqrt{x + 3} + \sqrt{y}} = 0 (*)$
Thay $\sqrt{(x - y)² + 4(2x - y) + 15} = \sqrt{x + 3} + \sqrt{y} $ từ PT thứ nhất vào
$ (*) ⇔ \dfrac{x - y + 5}{\sqrt{x + 3} + 3\sqrt{y}} - \dfrac{1}{\sqrt{x + 3} + \sqrt{y}} = 0$
Đặt $ : a = \sqrt{x + 3} ≥0; b = \sqrt{y} ≥ 0$
$ \dfrac{a² - b² + 2}{a + 3b} - \dfrac{1}{a + b} = 0$
$ ⇔ (a + b)(a² - b²) + 2(a + b) - (a + 3b) = 0$
$ ⇔ (a - b)(a + b)² + (a - b) = 0$
$ ⇔ (a - b)[(a + b)² + 1] = 0$
$ ⇔ a - b = 0 ⇔ a = b ⇔ \sqrt{x + 3} = \sqrt{y}$
$ ⇔ y = x + 3 $ ( như TH1)
KL : Hệ có nghiệm duy nhất $ (x; y) = (1; 4)$
