$\lim\limits_{x\to +\infty}(\sqrt{x-\sqrt{x}}-\sqrt{x})$
$=\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{x-\sqrt{x}-x}{\sqrt{x-\sqrt{x}}+\sqrt{x}}$
$=\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{-\sqrt{x}}{\sqrt{(\sqrt{x})^2-\sqrt{x}}+\sqrt{x}}$
$=\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{-\sqrt{x}}{\sqrt{x}\Big( \sqrt{1-\dfrac{1}{\sqrt{x}}} +1\Big) }$
$=\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{-1}{\sqrt{1-\dfrac{1}{\sqrt{x}}}+1}$
$=\dfrac{-1}{2}$
