Đáp án:
Giải thích các bước giải:
1) Δ ABC đều ⇒ AD là phân giác ⇒ cung DB = cung DC ⇒ DB = DC (1)
AD là đường kính ⇒ ∠DBE = ∠DCF = 90o (2)
Mà theo giả thiết : BD = CF (3)
Từ (1); (2); (3) ⇒ ΔDBE = ΔDCF (c.g.c) ⇒ DE = DF (4)
2) Theo câu a) ΔDBE = ΔDCF ⇒ ∠DEB = ∠DFC mà ∠DBE bù với ∠DEA ⇒ ∠DFC bù với ∠DEA ⇒ AEDF nội tiếp
3) Theo câu b) AEDF nội tiếp ⇒ ∠DEF = ^DAF (5)
mà ABDC cũng nội tiếp ⇒ ∠DBC = ∠DAC (6)
Từ (5) và (6) ⇒ ∠DEF = ∠DBC hay ∠DEK = ∠DBK ⇒ DBEK nội tiếp
⇒∠DKE = 180o - ∠BDE =180o - 90o =90o hay DK⊥EF
mà theo (4) ở câu a) thì ΔDEF cân tại D ⇒ K là trung điểm EF
4) Gọi I là điểm đối xứng với D qua K ⇒ DEGF là hình thoi có ∠EIF = ∠DEF = 180o - ∠EAF = 180o - 60o = 120o ⇒ ID = IE = IF ⇒ I là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔDEF theo câu b) AEDF nội tiếp ⇒ I là tâm của AEDF.
Gọi H là giao điểm của OD với BC ⇒ OH = DH mà IK = DK ⇒ OI//HK
⇒ khi E chuyển động trên AB ⇒ I chuyển động trên đường thẳng cố định qua O và song song BC.
Giới hạn quỹ tích : Vẽ ΔADJ ( nhận C là trung điểm AJ) ⇒ OJ là đường cao
- Khi E trùng A ⇒ I trùng J
- KHi E trùng B ⇒ I trùng O
Vậy Quỹ tích là đoạn thẳng OJ cố định xác định như trên
